普朗特數

普蘭特數（英語：Prandtl number，縮寫： $\mathrm {Pr}$ ），是一個流體力學無因次的純量，以德國力學家路德維希·普朗特（Ludwig Prandtl）的名字命名，表示動黏滯系數和熱擴散率的比例，也可以視為動量傳輸（英語：Momentum transport）及熱量傳輸速率的比例。

定義

普蘭特數的定義如下 :

\mathrm {Pr} ={\frac {\nu }{\alpha }}={\frac {c_{p}\mu }{k}}

其中:

$\nu$ : 運動黏滯系數, $\nu =\mu /\rho$ , (SI制單位 : m²/s)
$\alpha$ : 熱擴散率, $\alpha =k/(\rho c_{p})$ , (SI制單位 : m²/s)
$\mu$ : 動力黏滯系數 (SI制單位 : Pa s)
k : 熱傳導系數 (SI制單位 : W/(m K) )
c_p : 定壓比熱 (SI制單位 : J/(kg K) )
$\rho$ : 密度

雷諾數或格拉斯霍夫數的公式中有包含一個表示長度的變數，而普蘭特數 $\mathrm {Pr}$ 的公式中沒有類似的變數，表示 $\mathrm {Pr}$ 和孔徑、長度或特徵長度等參數無關，只和流體及其狀態有關。在描述物質特性的表中，除了列出黏滯系數及熱傳導系數外，有時也會列出普蘭特數 $\mathrm {Pr}$ 。

常見物質的Pr

以下是一些常見物質的 $\mathrm {Pr}$ :

空氣及氣體約 0.7-0.8
惰性氣體、氫氣或惰性氣體的混合物約 0.16-0.7
水大約是 7
地球的地幔約是10×10²⁴
機油範圍在 100 到 40,000 之間
R-12冷媒約在 4 到 5 之間
水銀約 0.015

對水銀而言，由於熱擴散率遠大於動黏滯系數，熱量主要會以傳導的方式傳遞，以熱傳導的方式傳播熱量會比對流有效。對於機油則恰好相反，動黏滯系數遠大於熱擴散率，熱量主要會以對流的方式傳遞，以對流的方式傳播熱量會比熱傳導有效。

在熱量傳播的應用中， $\mathrm {Pr}$ 控制動量邊界層及熱邊界層的相對厚度。Pr小表示熱擴散速率會比速度(動量)擴散速率要快。因此液態金屬（如水銀）的熱邊界層厚度會比速度邊界層大很多。

質量傳播也有類似普蘭特數的無因次量，稱為施密特數 $\mathrm {Sc}$ 。

參見

參考資料

工程流體力學, 科技圖書公司, 2012
Viscous Fluid Flow, F. M. White, McGraw-Hill, 3rd. Ed, 2006
Effects of Prandtl number and a new instability mode in a plane thermal plume. R. Lakkaraju, M Alam. Journal of Fluid Mechanics, vol. 592, 221-231 (2007)