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鞅中心極限定理

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鞅中心極限定理概率論中的一個定理,對有界的隨機變量而言,常見的經典中心極限定理是它的特殊情形。經典中心極限定理說,在一定條件下,獨立同分佈(i.i.d.)隨機變量之和,乘以適當的標準化因數後,會依分佈收斂於標準正態分佈 。而鞅中心極限定理將獨立性假設放寬為:這些隨機變量只需構成一個中的隨機增量(鞅是一種隨機過程 ,其從時間 到時間 的增量,在給定時間 1 到 觀測值的條件下,其條件數學期望值為零)。

定理內容

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鞅中心極限定理的基本內容可陳述如下:令隨機變量 構成一個,即滿足條件:

(鞅的定義)

進一步假設這個鞅是有限增量的,即:存在一個固定常數 ,有:

對所有 成立。 另假設 也成立。 定義增量的條件方差為:

並假設所有條件方差之和發散,即下式以概率1成立:

據此,對任意給定的常數 ,可以定義:

在所有上述假設成立的條件下,鞅中心極限定理做出如下結論:標準化的鞅隨機變量:

隨着 將會依分佈收斂標準正態分佈

隨機增量的條件方差之和必須發散

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上述定理假設了所有隨機增量的條件方差之和為無窮大,即以下條件以概率1成立:

這樣可以確保以概率1,下式成立:

並不是所有鞅都滿足這個條件,例如恆為零的平凡鞅。

定理的直觀理解

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可以通過將 如下變形來更好地理解鞅中心極限定理:

右邊的第一項漸近收斂於零,可以忽略。第二項在形式上,與獨立同分佈隨機增量的經典中心極限定理相似,雖然其中被求和項 互相之間未必獨立,但由鞅的定義易知它們互不相關的,因為:


參考文獻

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