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對數積分

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對數積分是一個特殊函數。它出現在物理學的問題中,在數論中也有重要性,主要出現在與質數定理黎曼猜想的相關理論之中。

對數積分

積分表示法

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對數積分有一個積分的表示法,對所有的正實數都有定義:

在這裏,ln表示自然對數。函數1/ln (t)在t = 1處有一個奇異點,當x > 1時,這個積分只能用柯西主值的概念來解釋:

特殊值與歐拉對數積分

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由於這個積分在x趨近於1時,值會趨近於負無窮大,有些數學家為了避免麻煩,常會選擇另外一個相似的定義,歐拉對數積分定義為:

函數li(x)有一個正根,它出現在x ≈ 1.45136 92348 ...。這個數稱為Ramanujan-Soldner常數

其中不完全伽瑪函數

級數表示法

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函數li(x)與指數積分Ei(x)有以下的關係:

其中。這個等式提供了li(x)的一個級數表示法:

其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是歐拉-馬歇羅尼常數。一個收斂得更快的級數,是:

漸近展開式

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x → ∞,函數有以下的漸進表現:

其中大O符號。完整的漸近展開式為:

注意,作為漸近展開式,這個級數是發散的:只有級數前面有限個項才是較好的估計。這個展開式可從指數積分的漸近展開式直接推出。

數論中的重要性

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對數積分在數論中十分重要,出現在小於某個整數的質數個數的估計中。例如,質數定理表明:

其中π(x)是小於或等於x的質數的個數。

參見

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參考文獻

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