布隆斯公式

布隆斯公式（英語：Bruns formula），也稱布隆斯方程，是大地測量學中用於描述大地水準面高、擾動位和正常重力的關係式，由德國大地測量學家海因里希·布隆斯於1878年提出。

數學表達

設大地水準面有一點 $\mathbf {P}$ ，其沿法線投影到參考橢球面上的點為 $\mathbf {Q}$，則 $\mathbf {P}$ 點處的大地水準面高 $N$ 即為兩點之間的距離 。又設 $\mathbf {P}$ 點處的擾動位為 $T$，計算得的 $\mathbf {Q}$ 點處的正常重力為 $\gamma$，則布隆斯公式可表達為：

$N={\frac {T}{\gamma }}$

在實際使用過程中，為簡化計算，在不影響精度的情況下上式的 $\gamma$ 可以用正常重力的平均值 ${\bar {\gamma }}$ 代替。

推導過程

由於參考橢球面的正常重力位 $U$ 被定義成與其所對應的大地水準面的重力位 $W_{0}$ 相等，大地水準面上的點 $\mathbf {P}$ 及其在參考橢球面上的投影 $\mathbf {Q}$ 的重力位存在如下關係：

$W_{P}=U_{Q}=W_{0}$

重力位 $W_{P}$ 又可被分作正常重力位 $U_{P}$ 和擾動位 $T$ 兩部分，即：

$W_{P}=U_{P}+T$

則擾動位 $T$ 可表示成點 $\mathbf {P}$ 和點 $\mathbf {Q}$ 的正常重力位之差，並進一步表示為點 $\mathbf {Q}$ 處正常重力的偏導數：

$T=U_{Q}-U_{P}=-{({\partial U \over \partial n})}_{Q}N=\gamma N$

上式中 $n$ 為參考橢球面的法線方向（也即大地水準面高 $N$ 的方向）。正常重力 $\gamma$ 的正向向下，因此符號為負。將上式變形即得：

$N={\frac {T}{\gamma }}$

參見

• 廣義布隆斯方程
• 重力測量基本微分方程