R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
x
{\displaystyle x}
{
y
|
x
≤
y
}
{\displaystyle \{y|x\leq y\}}
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
x
1
≤
y
1
{\displaystyle x_{1}\leq y_{1}}
x
2
≤
y
2
{\displaystyle x_{2}\leq y_{2}}
在數學 中，有序向量空間 （ordered vector space）是帶有偏序 的向量空間 ，並且偏序與向量空間的運算是相容的。又稱偏序向量空間 （partially ordered vector space）。
給定實數
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
V
{\displaystyle V}
集合
V
{\displaystyle V}
預序
≤
{\displaystyle \leq }
V
{\displaystyle V}
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
λ
{\displaystyle \lambda }
x
≤
y
⟹
x
+
z
≤
y
+
z
{\displaystyle x\leq y\implies x+z\leq y+z}
x
≤
y
⟹
λ
x
≤
λ
y
{\displaystyle x\leq y\implies \lambda x\leq \lambda y}
則有序對
(
V
,
≤
)
{\displaystyle (V,\leq )}
預序向量空間 （preordered vector space）。若
≤
{\displaystyle \leq }
偏序 ，則
(
V
,
≤
)
{\displaystyle (V,\leq )}
有序向量空間 。這兩條公理說明，平移 與正的位似變換 是序結構的自同構，並且映射
x
↦
−
x
{\displaystyle x\mapsto -x}
有序群 。
給定預序向量空間
V
{\displaystyle V}
V
+
=
{
x
∈
V
|
x
≥
0
}
{\displaystyle V^{+}=\{x\in V|x\geq 0\}}
凸錐 ，稱為
V
{\displaystyle V}
正錐 （positive cone）。若
V
{\displaystyle V}
V
+
∩
(
−
V
+
)
=
{
0
}
{\displaystyle V^{+}\cap (-V^{+})=\{0\}}
V
+
{\displaystyle V^{+}}
若
V
{\displaystyle V}
C
{\displaystyle C}
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
V
+
=
C
{\displaystyle V^{+}=C}
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
y
−
x
∈
C
{\displaystyle y-x\in C}
因此，向量空間
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
實數 關於通常的順序構成有序向量空間。以下關係都是
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
字典序 ：
(
a
,
b
)
≤
(
c
,
d
)
{\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}
a
<
c
{\displaystyle a<c}
(
a
=
c
,
b
≤
d
)
{\displaystyle (a=c,b\leq d)}
全序 。正錐由條件
x
>
0
{\displaystyle x>0}
(
x
=
0
,
y
≥
0
)
{\displaystyle (x=0,y\geq 0)}
極坐標 表示，正錐就是由角度滿足
−
π
2
<
θ
≤
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta \leq {\frac {\pi }{2}}}
(
a
,
b
)
≤
(
c
,
d
)
{\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}
a
≤
c
{\displaystyle a\leq c}
b
≤
d
{\displaystyle b\leq d}
(
R
,
≤
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}
x
≥
0
,
y
≥
0
{\displaystyle x\geq 0,y\geq 0}
0
≤
θ
≤
π
2
{\displaystyle 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}}
(
a
,
b
)
≤
(
c
,
d
)
{\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}
(
a
<
c
,
b
<
d
)
{\displaystyle (a<c,b<d)}
(
a
=
c
,
b
=
d
)
{\displaystyle (a=c,b=d)}
(
R
,
<
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,<)}
直積 的反射閉包。正錐由
(
x
>
0
,
y
>
0
)
{\displaystyle (x>0,y>0)}
x
=
y
=
0
{\displaystyle x=y=0}
0
<
θ
<
π
2
{\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}
R
2
×
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}
仿照
n
=
2
{\displaystyle n=2}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
x
i
≤
y
i
(
i
=
1
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle x_{i}\leq y_{i}\,(i=1,\cdots ,n)}
里斯空間 是有序向量空間，並且還是格 。
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
f
≤
g
{\displaystyle f\leq g}
x
∈
[
0
,
1
]
,
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
{\displaystyle x\in [0,1],\,f(x)\leq g(x)}
偏序向量空間中的區間是凸集 。設
[
a
,
b
]
=
{
x
|
a
≤
x
≤
b
}
{\displaystyle [a,b]=\{x|a\leq x\leq b\}}
x
,
y
∈
[
a
,
b
]
,
λ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle x,y\in [a,b],\lambda \in (0,1)}
λ
x
+
(
1
−
λ
)
y
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \lambda x+(1-\lambda )y\in [a,b]}
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle x\in [0,1],\,f(x)\leq g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0701a8ff92ca892e5a9362633feaefe4c08c0c51)
![{\displaystyle [a,b]=\{x|a\leq x\leq b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7699e88cb19ad4a5895715dc300c68e4c837989)
![{\displaystyle x,y\in [a,b],\lambda \in (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8130341d654775aa79e8a91e82e33b4c88ed27da)
![{\displaystyle \lambda x+(1-\lambda )y\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e227548f9db5d8c8ea555490818b798b0d8bcd1)