格拉姆-施密特正交化

在線性代數中，如果內積空間上的一組向量能夠組成一個子空間，那麼這一組向量就稱為這個子空間的一個基。Gram－Schmidt正交化提供了一種方法，能夠通過這一子空間上的一個基得出子空間的一個正交基，並可進一步求出對應的標準正交基。

這種正交化方法以約爾根·佩德森·格拉姆和艾哈德·施密特命名，然而比他們更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已經發現了這一方法。在李群分解中，這種方法被推廣為岩澤分解（Iwasawa decomposition）。

在數值計算中，Gram－Schmidt正交化是數值不穩定的，計算中累積的捨入誤差會使最終結果的正交性變得很差。因此在實際應用中通常使用豪斯霍爾德轉換或Givens旋轉進行正交化。可以用於矩陣計算。

記法

• ${\boldsymbol {V}}^{n}$：維數為n 的內積空間
• ${\boldsymbol {v}}\in {\boldsymbol {V}}^{n}$：${\boldsymbol {V}}^{n}$中的元素，可以是向量、函數，等等
• $\langle {\boldsymbol {v}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{2}\rangle$：${\boldsymbol {v}}_{1}$與${\boldsymbol {v}}_{2}$的內積
• $\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}$：${\boldsymbol {v}}_{1}$、${\boldsymbol {v}}_{2}$……${\boldsymbol {v}}_{n}$張成的子空間
• $\mathrm {proj} _{\boldsymbol {v}}\,{\boldsymbol {u}}={\langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\rangle \over \langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}}\rangle }{\boldsymbol {v}}$：${\boldsymbol {u}}$在${\boldsymbol {v}}$上的投影

基本思想

圖1 ${\boldsymbol {v}}$在${\boldsymbol {V}}^{2}$上投影，構造${\boldsymbol {V}}^{3}$上的正交基${\boldsymbol {\beta }}$

Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基礎上構造一個新的正交基。

設${\boldsymbol {v}}\in {\boldsymbol {V^{n}}}$。${\boldsymbol {V}}^{k}$是${\boldsymbol {V}}^{n}$上的$k$維子空間，其標準正交基為$\{{\boldsymbol {\eta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\eta }}_{k}\}$，且${\boldsymbol {v}}$不在${\boldsymbol {V}}^{k}$上。由投影原理知，${\boldsymbol {v}}$與其在${\boldsymbol {V}}^{k}$上的投影$\mathrm {proj} _{\boldsymbol {V^{k}}}{\boldsymbol {v}}$之差

${\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {v}}-\sum _{i=1}^{k}\mathrm {proj} _{{\boldsymbol {\eta }}_{i}}\,{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}-\sum _{i=1}^{k}\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {\eta }}_{i}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{i}$

是正交於子空間${\boldsymbol {V}}^{k}$的，亦即${\boldsymbol {\beta }}$正交於${\boldsymbol {V}}^{k}$的正交基${\boldsymbol {\eta }}_{i}$。因此只要將${\boldsymbol {\beta }}$單位化，即

${\boldsymbol {\eta }}_{k+1}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\|{\boldsymbol {\beta }}\|}}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\sqrt {\langle {\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }}\rangle }}}$

那麼$\{{\boldsymbol {\eta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\eta }}_{k},{\boldsymbol {\eta }}_{k+1}\}$就是${\boldsymbol {V}}^{k}$在${\boldsymbol {v}}$上擴展的子空間$\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {\eta }}_{1},...,{\boldsymbol {\eta }}_{k}\}$的標準正交基。

根據上述分析，對於向量組$\{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{m}\}$張成的空間${\boldsymbol {V}}^{m}$ ($m<n$)，只要從其中一個向量（不妨設為${\boldsymbol {v}}_{1}$）所張成的一維子空間$\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1}\}$開始（注意到${\boldsymbol {v}}_{1}$就是$\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1}\}$的正交基），重複上述擴展構造正交基的過程，就能夠得到${\boldsymbol {V}}^{n}$ 的一組正交基。這就是Gram-Schmidt正交化。

算法

首先需要確定已有基底向量的順序，不妨設為$\{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}$。Gram-Schmidt正交化的過程如下：

	${\boldsymbol {\beta }}_{1}={\boldsymbol {v}}_{1},$		${\boldsymbol {\eta }}_{1}={{\boldsymbol {\beta }}_{1} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{1}\|}$
	${\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {v}}_{2}-\langle {\boldsymbol {v}}_{2},{\boldsymbol {\eta }}_{1}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{1},$		${\boldsymbol {\eta }}_{2}={{\boldsymbol {\beta }}_{2} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{2}\|}$
	${\boldsymbol {\beta }}_{3}={\boldsymbol {v}}_{3}-\langle {\boldsymbol {v}}_{3},{\boldsymbol {\eta }}_{1}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{1}-\langle {\boldsymbol {v}}_{3},{\boldsymbol {\eta }}_{2}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{2},$		${\boldsymbol {\eta }}_{3}={{\boldsymbol {\beta }}_{3} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{3}\|}$
	$\vdots$		$\vdots$
	${\boldsymbol {\beta }}_{n}={\boldsymbol {v}}_{n}-\sum _{i=1}^{n-1}\langle {\boldsymbol {v}}_{n},{\boldsymbol {\eta }}_{i}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{i},$		${\boldsymbol {\eta }}_{n}={{\boldsymbol {\beta }}_{n} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{n}\|}$

這樣就得到$\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}$上的一組正交基$\{{\boldsymbol {\beta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\beta }}_{n}\}$，以及相應的標準正交基$\{{\boldsymbol {\eta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\eta }}_{n}\}$。

例

考察如下歐幾里得空間Rⁿ中向量的集合，歐氏空間上內積的定義為<a, b> = b^Ta：

$S=\lbrace {\boldsymbol {v}}_{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},{\boldsymbol {v}}_{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\rbrace .$

下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一組正交向量：

${\boldsymbol {\beta }}_{1}={\boldsymbol {v}}_{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

${\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {v}}_{2}-\mathrm {proj} _{{\boldsymbol {\beta }}_{1}}\,{\boldsymbol {v}}_{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}-\mathrm {proj} _{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}$

下面驗證向量${\boldsymbol {\beta }}_{1}$與${\boldsymbol {\beta }}_{2}$的正交性：

$\langle {\boldsymbol {\beta }}_{1},{\boldsymbol {\beta }}_{2}\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}\right\rangle =-{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{5}}=0.$

將這些向量單位化：

${\boldsymbol {\eta }}_{1}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

${\boldsymbol {\eta }}_{2}={1 \over {\sqrt {8 \over 5}}}{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}$

於是$\{{\boldsymbol {\eta }}_{1},{\boldsymbol {\eta }}_{2}\}$就是 $\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{2}\}$ 的一組標準正交基底。

不同的形式

隨着內積空間上內積的定義以及構成內積空間的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表現出不同的形式。

例如，在實向量空間上，內積定義為：

$\langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle ={\boldsymbol {b}}^{T}{\boldsymbol {a}}$

在複向量空間上，內積定義為：

$\langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle ={\boldsymbol {b}}^{H}{\boldsymbol {a}}$

函數之間的內積則定義為：

$\langle f(x),g(x)\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g(x)dx$

與之對應，相應的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。

參見

• 內積空間
• 內積
• 正交
• QR分解

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Orthogonalization, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Harvey Mudd College Math Tutorial on the Gram-Schmidt algorithm
• Earliest known uses of some of the words of mathematics: G （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Demos: Gram Schmidt process in plane and Gram Schmidt process in space
• Gram-Schmidt orthogonalization applet （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• NAG Gram–Schmidt orthogonalization of n vectors of order m routine （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Proof: Raymond Puzio, Keenan Kidwell. "proof of Gram-Schmidt orthogonalization algorithm" (version 8). PlanetMath.org. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）