正定矩陣

在線性代數裏，正定矩陣（英語：positive-definite matrix）是埃爾米特矩陣的一種，有時會簡稱為正定陣。在線性代數中，正定矩陣的性質類似複數中的正實數。與正定矩陣相對應的線性算子是對稱正定雙線性形式（複域中則對應埃爾米特正定雙線性形式）。

定義

一個 $n\times n$ 的實對稱矩陣 $M$ 是正定的，當且僅當對於所有的非零實系數向量 $\mathbf {z}$，都有 $\mathbf {z} ^{T}M\mathbf {z} >0$。其中 $\mathbf {z} ^{T}$表示 $\mathbf {z}$ 的轉置。對於複數的情況，定義則為：一個 $n\times n$ 的埃爾米特矩陣 $M$ 是正定的當且僅當對於每個非零的複向量 $\mathbf {z}$，都有 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0$。其中 $\mathbf {z} ^{*}$表示 $\mathbf {z}$ 的共軛轉置。

這樣的定義仰賴一個事實：對於任意的埃爾米特矩陣 $M$ 及複向量 $\mathbf {z}$ ，$\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$ 必定是實數。

首先，因為 $M$ 是埃爾米特矩陣，所以我們有 $M^{*}=M$。接下來我們計算所求的共軛轉置：$(\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} )^{*}=\mathbf {z} ^{*}M^{*}(\mathbf {z} ^{*})^{*}=\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$。因為 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$ 是純量且其共軛複數等於自身，所以根據複數的性質，我們得出 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$ 是實數。

正定矩陣

對於 $n\times n$ 的埃爾米特矩陣 $M$，下列性質與「$M$ 為正定矩陣」等價：

1. $M$ 的所有的特徵值 $\lambda _{i}$ 都是正的。
   根據譜定理，$M$ 與一個實對角矩陣 $D$ 相似（也就是說 $M=U^{-1}DU$，其中 $U$ 是么正矩陣，或者說 $M$ 在某個正交基可以表示為一個實對角矩陣）。因此，$M$是正定陣當且僅當相應的 $D$ 的對角線上元素都是正的。 另外，也可以假設 $\lambda _{i}$ 和 $\mathbf {v} _{i}$ 是 $M$ 的一組特徵值與特徵向量，根據定義 $M\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}$，從左側同乘以 $\mathbf {v} _{i}^{*}$ 得到：$\mathbf {v} _{i}^{*}M\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}^{*}\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}$。因為 $M$ 是正定矩陣，根據定義我們有 $\mathbf {v} _{i}^{*}M\mathbf {v} >0$。移項整理後可以得到 $\lambda _{i}={\frac {\mathbf {v} ^{*}M\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}}>0$。注意因為特徵向量 $\mathbf {v} _{i}\neq \mathbf {0}$，所以前述 $\lambda _{i}$ 不會有無解的情形。
2. 半雙線性形式 $\langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}$ 定義了一個 $\mathbb {C} ^{n}$上的內積。實際上，所有 $\mathbb {C} ^{n}$上的內積都可視為由某個正定矩陣通過此種方式得到。
3. $M$ 是向量 ${\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}$ 構成的格拉姆矩陣，其中 $k\in \mathbb {Z} ^{+}$。更精確地說，$M=[m_{ij}]$ 定義為：$m_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}$。換句話說，$M$ 具有 $A^{*}A$ 的形式，其中 $A$ 不一定是方陣，但必須是單射的。
4. $M$ 的所有順序主子式，也就是順序主子陣的行列式都是正的（西爾維斯特準則）。明確地說，就是考察 $M$ 左上角大小 $1\times 1,\ldots ,n\times n$ 的子矩陣的行列式。對於半正定矩陣而言，相應的條件應改為所有的主子式非負。但順序主子式非負並不能推出矩陣是半正定的。比如以下例子： $${\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}$$
5. 存在唯一的下三角矩陣 $L$，其主對角線上的元素全是正的，使得 $M=LL^{*}$。其中 $L^{*}$是 $L$ 的共軛轉置。這一分解被稱為科列斯基分解。

對於實對稱矩陣，只需將上述性質中的 $\mathbb {C} ^{n}$改為 $\mathbb {R} ^{n}$，並將「共軛轉置」改為「轉置」即可。

二次型

由以上的第二個等價條件，可以得到二次型形式下正定矩陣的等價條件：用 $\mathbb {K}$ 代表 $\mathbb {C}$ 或 $\mathbb {R}$，設 $\mathbb {V}$ 是 $\mathbb {K}$ 上的一個向量空間。一個埃爾米特型：

$B:V\times V\rightarrow K$

是一個雙線性映射，使得 $B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ 總是 $B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )$ 的共軛。這樣的一個映射 $B$ 是正定的當且僅當對於 $\mathbb {V}$ 中所有的非零向量 $\mathbf {x}$，都有 $B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0$。

負定、半定及不定矩陣

與正定矩陣對應，一個 $n\times n$ 的埃爾米特矩陣 $M$ 是負定矩陣（英語：negative-definite matrix）當且僅當對所有非零向量 $\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}$（或 $\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}$），都有 $z^{*}Mz<0\,$。

$M$是半正定矩陣（英語：positive semi-definite matrix）當且僅當對於所有非零向量 $\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}$（或 $\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}$），都有 $z^{*}Mz\geq 0$。

$M$是半負定矩陣（英語：negative semi-definite matrix）當且僅當對於所有非零向量 $\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}$（或 $\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}$），都有 $z^{*}Mz\leq 0$。

如果一個埃爾米特矩陣既不是半正定也不是半負定的，那麼稱其為不定矩陣（英語：indefinite matrix）。

可以看出，上一節中正定矩陣的第一個等價性質只需作出相應改動，就可以變為判別負定矩陣、半正定矩陣和半負定矩陣的準則。注意當 $M$ 是半正定時，相應的格拉姆矩陣不必由線性獨立的向量組成。對於任意矩陣 $A$，$A^{*}A$必是半正定的，並有 $\mathrm {rank} (A)=\mathrm {rank} (A^{*}A)$（兩者的秩相等）。反過來，任意的半正定矩陣都可以寫作 $M=A^{*}A$，這就是科列斯基分解。

對於任意矩陣 $A$，因為 $(A^{*}A)^{*}=A^{*}(A^{*})^{*}=A^{*}A$ ，因此 $A^{*}A$ 是埃爾米特矩陣。令 $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$，則 $\mathbf {v} ^{*}(A^{*}A)\mathbf {v} =(\mathbf {v} ^{*}A^{*})(A\mathbf {v} )=(A\mathbf {v} )^{*}(A\mathbf {v} )=\Vert A\mathbf {v} \Vert ^{2}\geq 0$，因此 $A^{*}A$ 是半正定的。另外，我們很容易證明 $A$ 與 $A^{*}A$ 有相同的零空間，根據秩 – 零化度定理，我們可以得到它們有相同的秩。

一個埃爾米特矩陣 $M$ 是負定矩陣當且僅當 $M$ 的所有奇數階順序主子式小於 $0$，所有偶數階順序主子式大於 $0$。當 $M$ 是負定矩陣時，$M$ 的逆矩陣也是負定的。

相關性質

若 $M$ 為半正定矩陣，可以記作 $M\geq 0$。如果$M$是正定矩陣，可以記作 $M>0$。這個記法來自泛函分析，其中的正定矩陣定義了正算子。

對於一般的埃爾米特矩陣，$M$、$N$，$M\geq N$ 當且僅當 $M-N\geq 0$。這樣可以定義一個在埃爾米特矩陣集合上的偏序關係。類似地，可以定義$M>N$。

1.	每個正定陣都是可逆的，它的逆也是正定陣。如果 $M\geq N>0$ 那麼 $N^{-1}\geq M^{-1}>0$。
2.	如果 $M$ 是正定陣，$r>0$ 為正實數，那麼 $rM$ 也是正定陣。 如果 $M$、$N$ 是正定陣，那麼 $M+N$、$MNM$ 與 $NMN$ 都是正定的。如果 $MN=NM$，那麼 $MN$ 仍是正定陣。
3.	如果 $M=(m_{ij})>0$ 那麼主對角線上的元素 $m_{ii}$ 為正實數。於是有 ${\text{tr}}(M)>0$。此外還有 $|m_{ij}|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\leq {\frac {m_{ii}+m_{jj}}{2}}$ 。
4.	矩陣 $M$ 是正定陣當且僅當存在唯一的正定陣 $B>0$ 使得 $B^{2}=M$。根據其唯一性可以記作 $B=M^{1/2}$，稱 $B$ 為 $M$ 的平方根。對半正定陣也有類似結論。同時，如果 $M>N>0$ 那麼 $M^{1/2}>N^{1/2}>0$ 。
5.	如果 $M,N>0$ 那麼 $M\otimes N>0$，其中 $\otimes$ 表示克羅內克積。
6.	對矩陣 $M=(m_{ij}),\ N=(n_{ij})$，將兩者同一位置上的系數相乘所得的矩陣記為 $M\circ N$，即 $(M\circ N)_{i,j}=m_{ij}n_{ij}$，稱為$M$與$N$的 阿達馬乘積。如果 $M,N>0$，那麼 $M\circ N>0$。如果 $M,N$ 為實係數矩陣，則以下不等式成立： $\det(M\circ N)\geq (\det N)\prod _{i}m_{ii}$ 。
7.	設 $M>0$，$N$ 為埃爾米特矩陣。如果 $MN+NM\geq 0$（相應地，$MN+NM>0$），那麼 $N\geq 0$（相應地，$N>0$）。
8.	如果 $M,N\geq 0$ 為實系數矩陣，則 ${\text{tr}}(MN)\geq 0$。
9.	如果 $M>0$ 為實系數矩陣，那麼存在 $\delta >0$ 使得 $M\geq \delta I$，其中 $I$ 為單位矩陣。

非埃爾米特矩陣的情況

一個實矩陣 $M$ 可能滿足對於所有的非零實向量 $\mathbf {x}$，$\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0$，卻不是對稱矩陣。舉例來說，矩陣

${\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}$就滿足這個條件。對於 $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}$ 並且 $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$，${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0$。

一般來說，一個實系數矩陣 $M$ 滿足對所有非零實向量 $\mathbf {x}$，$\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0$，當且僅當對稱矩陣 $(M+M^{T})/2$ 是正定矩陣。

對於複系數矩陣，情況可能會不太一樣。主要考慮如何擴展 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0$ 這一性質。要使得 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$ 總為實數，矩陣 $M$ 必須是埃爾米特矩陣。因此，若 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$ 總是正實數，$M$ 必然是正定的埃爾米特矩陣。如果將 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0$ 擴展為 $\Re (\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} )>0$，則等價於 $(M+M^{*})/2$ 為正定矩陣。

參見

• 確定雙線性形式
• 矩陣的平方根
• 舒爾補
• 正定核
• 正定函數
• 科列斯基分解
• 線性矩陣不等式
• 合同矩陣

參考資料

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
• Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

外部連結

• 正定矩陣
• 關於對稱矩陣的一些討論