狹義相對論中的質量

質量這一名詞在狹義相對論中通常是指物質在靜止時所測量的質量（靜質量）。這個意義的質量與牛頓力學的質量相同。不變質量是靜質量的另一名稱，但它通常是指由許多粒子構成的系統。

相對論性質量這一名詞也被使用，而這是一個物體所具有的總能量。物體的相對論性質量包括了它所具有的動能，因此取決於觀察者所處於的參考系。

用詞

如果一個盒子裝有許多粒子，它的重量會隨着這些粒子的速率的增加而增加。盒子裏的任何能量被加入盒子的質量中，因此這個盒子的質量受到這些粒子的相對運動的影響。然而，如果這整個盒子在運動，那麼這盒子所具有的動能是不是應該包括在物體的質量當中呢？不變質量不包括盒子的動能，而相對論性質量則包括了盒子的動能。

相對論性質量和靜質量都是物理學中的傳統概念，但相對論性質量只是總共能量的多餘的名稱。一個系統只有在靜止時其質量才有可能被測量，但當物體靜止時，物體的相對論性質量就是物體的靜質量。

物體的不變質量是在一個特定參考系中它所具有的總共能量，而在這個參考系中，該物體是靜止的。這也是不變質量也被稱作靜質量的緣故。這個特定的參考系也被稱作動量的質心系。質心系被定義成系統的總動量為零時所處於的參考系。對於一個合成的物體（由許多更小的物體組成，這些物體可能在運動）和一組沒有結合在一起的物體，只要總共的動量是零，相對論性質量便與不變質量相同。

如果一個物體以光速運動，它在任何參考系中都不會靜止。當觀察者朝着與這個物體運動的方向加速，該物體所具有的能量會越來越少。因此，我們可以推測這個物體的靜質量是零，而這個物體所具有的質量僅是相對論性質量，一個取決於觀察者的質量。

相對論性質量的概念

早期的發展：橫向與縱向質量

約瑟夫·湯姆生在1881年^[1] 承認一個帶電的物體比一個沒有帶電的物體更難加速。因此靜電能量表現成某種電磁質量，增加了物體的機械質量。之後威廉·維因（1900）^[2]和 Max Abraham （1902）^[3] 認為一個物體的總共質量與它的電磁質量相同。因為電磁質量取決於電磁能量，維因所提出的質能關係是 $m=(4/3)E/c^{2}$ 。

George Frederick Charles Searle 和湯姆生也指出，電磁質量隨着物體的速度而增加。亨德里克·勞侖茲在他的勞侖茲以太理論的框架中承認這個說法。他將質量定義成所用力與加速度的比值而不是動量與速度的比值，因此他必須區分橫向質量（ $\gamma ^{3}m_{0}$ ）（當物體運動的方向與加速度相同或相反）和縱向質量（ $\gamma m_{0}$ ）（當物體運動的方向與加速度垂直）。只有當加速度與物體運動的方向垂直時，勞侖茲的質量才會等於現在被稱作相對論性質量的質量。（ $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ 是勞侖茲因子，v是物體與以太的相對速度，c是光速）。因此，根據這一理論沒有物體可以到達光速，因為物體的質量將趨於無限大。^[4]^[5]

而對於一個具有非零靜質量的粒子在x方向運動時所受到的作用力和加速度的準確表達是：

f_{x}=\gamma ^{3}m_{0}a_{x},\,

f_{y}=\gamma m_{0}a_{y},\,

f_{z}=\gamma m_{0}a_{z}.\,

愛因斯坦在他1905年的論文中計算了橫向質量和縱向質量。^[6]^[7]然而，在他第一篇關於 $E=mc^{2}$ 的論文中（1905），m所代表的是現在認為的靜質量。^[8]一些人後來聲稱他不喜歡相對論性質量的想法。^[9]

現代相對論的概念

在狹義相對論中，就像勞侖茲以太理論，一個靜質量非零的物體無法以光速運動。當物體趨近於光速時，它的能量和動量將無限制的增加。

橫向質量和縱向質量被相對論性質量的概念取代。Richard C. Tolman 在1912年表示m₀(1 - v²/c²)^-1/2最適合用來表示運動物體的質量。^[10]

在1934年，Tolman也定義相對論性質量為：^[11]

m={\frac {E}{c^{2}}}\!

這一定義對於所有粒子都適用，包括以光速運動的粒子。

對於以低於光速運動的粒子，即具有非零的靜質量的粒子，這方程式變成

m=\gamma m_{0}\!

當相對速度為零時， $\gamma$ 將等於1。當相對速度趨近光速時， $\gamma$ 將趨近無限大。

在動量的方程式中

p=mv

m所代表的質量是相對論性質量

牛頓第二運動定律以 $\mathbf {f} ={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}},\!$ 的形式表達仍然正確。但 ${\frac {dm}{dt}}$ 並不是零，因為相對論性質量是速率的函數，因此牛頓第二運動定律不能以 $f=ma$ 來表示。

一個系統的質量

一個系統的靜質量並不等於組成這一系統的所有物體的靜質量的和，除非在這一系統中的所有物體在質心系是靜止的而不具有其它形式的能量（如場能）。一個系統所具有的靜質量等於它在質心系所具有的能量（包括場能）。所以許多系統的總質量小於其中每個物體質量的和，如1個氫原子的靜止質量小於1電子質量＋1質子質量（由於電場能為負）。

相對論能量-動量方程式

上述E和p的相對論表示式可以轉寫成基礎的「相對論能量-動量方程式」：

E^{2}-(pc)^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}\,\!

注意到此方程式裏的 $m_{0}$ 表示靜質量。這條方程式對無(靜)質量的光子而言也適用：

E^{2}-(pc)^{2}=0\,\!

E^{2}=(pc)^{2}\,\!

E=pc\,\!

p=E/c\,\!

因此一顆光子的動量是其能量的函數，而非與其速度成正比，真空中的光速是常數。

考慮一個靜止的物體，上面第一條方程式中的動量p為零，我們得到：

E^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}\,\!

可以簡化為

E=m_{0}c^{2}\,\!

顯示出這項知名的關係式僅在物體靜止時適用，並給出「靜止能量」的觀念。如果物體在運動，我們得到：

E^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}\,\!

從這裏，我們可以看到物體總能E和它的靜能量以及動量相依；一旦動量隨速度v增加而增加，總能量也會發生一樣的事。

這裏的E實際上等同於前面段落中的相對論性能量方程式，而那條能量方程式和相對論性質量方程式只差了一個因子c²。因此「相對論性質量本質上等於總能量」—，但是量值與單位有些差別。當採用c = 1的單位(稱作自然單位系統)時，能量-動量方程式即簡化為：

E^{2}-p^{2}=m_{0}^{2}\,,\!

一旦 $v=0$ ，其簡化到 $E^{2}=m_{0}^{2}$ ,或 $E=m_{0}$ 。