絕熱指數

絕熱指數（英語：adiabatic index）是指等壓熱容（ $C_{P}$ ）和等容（等體積）熱容（ $C_{V}$ ）的比值，也稱為熱容比（英語：heat capacity ratio）、比熱比（英語：specific heat ratio）或絕熱膨脹系數（英語：isentropic expansion factor），常用符號 $\gamma$ 或 $\kappa$ 表示。後者常在化學工程領域中使用，在機械工程領域中，會使用字母K表示絕熱指數^[1]：

\gamma ={\frac {C_{P}}{C_{v}}}={\frac {c_{P}}{c_{v}}}

其中， $C$ 是氣體的熱容， $c$ 是氣體比熱容，而下標 $P$ 及 $v$ 分別表示在等壓條件及等體積條件下的結果。

絕熱指數也可表示為以下的形式

\gamma ={\frac {C_{P,m}}{C_{v,m}}}

其中， $C_{P,m}$ 是氣體的等壓摩爾熱容，也就是一摩爾氣體的等壓熱容， $C_{v,m}$ 是氣體的等容摩爾熱容。

絕熱指數也是理想氣體在等熵過程（準靜態、可逆的絕熱過程）下的多方指數，即以下體積和壓強關係式中體積的次方：

pV^{\gamma }={\text{const}}

其中 $p$ 是壓力而 $V$ 是體積。

理想氣體的絕熱指數

理想氣體的熱容不隨溫度變化。焓及內能分別為 $H=C_{p}T$ 及 $U=C_{V}T$ 。因此絕熱指數也可以視為是焓及內能的比值：

\gamma ={\frac {H}{U}}

理想氣體的定壓莫耳熱容及定容莫耳熱容及氣體常數（ $R$ ）之間有以下的關係

C_{p,m}-C_{V,m}=R\!

因此莫耳熱容也可以用絕熱指數（ $\gamma$ ）及氣體常數表示：

C_{p,m}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}}\qquad {\mbox{,}}\qquad C_{V,m}={\frac {R}{\gamma -1}}

和自由度的關係

理想氣體分子的原子數和等容摩爾熱容（ $C_{V,m}$ ）、等壓摩爾熱容（ $C_{p,m}$ ）及絕熱指數 $\kappa$ 之間的關係
	$C_{V,m}$	$C_{p,m}$	$\kappa ={\frac {C_{p,m}}{C_{V,m}}}$
單原子氣體	${\frac {3}{2}}\cdot R$	${\frac {5}{2}}\cdot R$	${\frac {5}{3}}=1.{\overline {6}}$
雙原子氣體	${\frac {5}{2}}\cdot R$	${\frac {7}{2}}\cdot R$	${\frac {7}{5}}=1.4$
三原子氣體	${\frac {6}{2}}\cdot R$	${\frac {8}{2}}\cdot R$	${\frac {4}{3}}=1.{\overline {3}}$

理想氣體的絕熱指數（ $\gamma$ ）和分子的自由度之間，有以下的關係：

\gamma \ ={\frac {f+2}{f}}\qquad {\mbox{, }}\qquad f={\frac {2}{\gamma -1}}

單原子氣體的自由度是3，因此絕熱指數為：

\gamma \ ={\frac {5}{3}}\approx 1.67

,

雙原子氣體，在室溫下的自由度為5（平移自由度3，旋轉自由度2，室溫下不考慮振動自由度），因此絕熱指數為：

\gamma ={\frac {7}{5}}=1.4

.

空氣主要由雙原子氣體組成，包括約78%的氮氣（N₂）及約21%的氧氣（O₂），室溫下的乾燥空氣可視為理想氣體，因此其絕熱指數為：

\gamma ={\frac {5+2}{5}}={\frac {7}{5}}=1.4

.

以上數據和實際量測而得的數據1.403相當接近。

熱力學的關係

在一些特定的工程應用中（如計算氣體經過導管或閥的流速）， $C_{p}-C_{v}=nR$ （n為莫耳數）的關係不夠準確，因此定體積熱容 $C_{v}$ 需要由實測求得，若依下式計算定體積熱容 $C_{v}$ ，即得求得精確的絕熱指數 ${\frac {C_{p}}{C_{v}}}$ ：

C_{p}-C_{v}\ =\ -T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}^{2}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}\ =\ -T{\frac {{\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)}^{2}}{\frac {\partial P}{\partial V}}}

其中 $C_{p}$ 的數值可以由查表求得。

上述的定義可由來推導嚴謹的狀態方程式（例如Peng-Robinson狀態方程式），這些方程式所求得的值和實測值非常接近，因此定體積熱容或絕熱指數可直接用方程式計算，不需查表。也可以利用有限差分法來計算其數值。

各種氣體的絕熱指數

各種氣體的絕熱指數^[2]^[3]
溫度	氣體	γ	溫度	氣體	γ	溫度	氣體	γ
−181°C	H₂	1.597	200°C	乾空氣	1.398	20°C	NO	1.400
−76°C		1.453	400°C		1.393	20°C	N₂O	1.310
20°C		1.410	1000°C		1.365	−181°C	N₂	1.470
100°C		1.404	2000°C		1.088	15°C	N₂	1.404
400°C		1.387	0°C	CO₂	1.310	20°C	Cl₂	1.340
1000°C		1.358	20°C		1.300	−115°C	CH₄	1.410
2000°C		1.318	100°C		1.281	−74°C		1.350
20°C	He	1.660	400°C		1.235	20°C		1.320
20°C	H₂O	1.330	1000°C		1.195	15°C	NH₃	1.310
100°C		1.324	20°C	CO	1.400	19°C	Ne	1.640
200°C		1.310	−181°C	O₂	1.450	19°C	Xe	1.660
−180°C	Ar	1.760	−76°C		1.415	19°C	Kr	1.680
20°C	Ar	1.670	20°C		1.400	15°C	SO₂	1.290
0°C	乾空氣	1.403	100°C		1.399	360°C	Hg	1.670
20°C		1.400	200°C		1.397	15°C	C₂H₆	1.220
100°C		1.401	400°C		1.394	16°C	C₃H₈	1.130

參照

參考

^ Robert W. Fox, Philip J. Pritchard and Alan T. McDonald. Introduction to Fluid Mechanics 6th. Wiley. 2008. ISBN 9780471202318.
^ White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
^ Lange's Handbook of Chemistry, 10th ed. page 1524

[1] Robert W. Fox, Philip J. Pritchard and Alan T. McDonald. Introduction to Fluid Mechanics 6th. Wiley. 2008. ISBN 9780471202318.

[2] White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill

[3] Lange's Handbook of Chemistry, 10th ed. page 1524

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