軌形

這術語的來源不該歸在我身上。它是我在1976-77年的課程中通過民主程序獲得的。軌形是有很多「折」（fold）的東西，但是「manifold」（流行）已經佔了一個位置。我試着用「foldamani」，但很快被「manifolded」取代了。我每次都耐心地說「不，不是流形，是『死流形』（manifoldead）」，兩個月後我們搞了一次投票，「軌形」（orbifold）獲勝了。

Thurston (1978–1981，第300頁，section 13.2)解釋了「軌形」（orbifold）的起源

拓撲學與幾何學中，軌形（orbifold，「有軌的流形」）是對流形的推廣。粗略地說，軌形是局部為歐氏空間的有限群商的拓撲空間。

軌形的定義已出現過好幾次：1950年代佐武一郎在研究自守形式時將其命名為「V-流形」；1970年代，威廉·瑟斯頓在研究3-流形的幾何時，經過與學生的投票將其命名為「軌形」；1980年代，André Haefliger在研究米哈伊爾·格羅莫夫的CAT(k)空間綱領時將其命名為「軌邊形」（orbihedron）。

歷史上，早在正式定義出現前，軌形首先是作為具有奇點的曲面出現的。最早的經典例子之一出現在模形式理論中，模群$\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$對上半平面的作用：對商添加2個軌形尖點、實現緊化後，可得到黎曼–羅赫定理的一種表述。3-流形理論中，赫伯特·塞弗特提出的塞弗特纖維空間理論可用2維軌形表述。幾何群論中，後格羅莫夫時期的離散群是根據「軌邊形」（orbihedron）及其覆疊空間的局部曲率特性來研究的。

弦論中，「軌形」的含義略有不同。下詳。二維共形場論中，「軌形」指頂點代數在自同構的有限群作用下附着於定點的子代數。

底空間的主要例子是流形在具有迷向有限子群的微分同胚（可能無限）群的純不連續作用下的商空間。這尤其適於有限群的任何作用，於是有界流形帶有自然的軌形結構，因為它是自身的雙倍對$\mathbb {Z} _{2}$作用的商。

拓撲空間可攜帶不同的軌形結構。例如，考慮與沿$\pi$旋轉的圓的商空間相關聯的軌形O，其與圓同胚，但自然軌形結構不同。可將流形的大部分特徵直接推廣到軌形，而它們通常不同於底空間的相應特徵。上述例子中，O的軌形基本群是$\mathbb {Z} _{2}$，其軌形歐拉示性數為1。

正式定義

使用軌形圖集

與流形類似，軌形也由局部條件指定；不過軌形不是以$\mathbb {R} ^{n}$的開子集為局部模型，而用$\mathbb {R} ^{n}$的開子集對有限群作用的商。軌形的結構不僅包括底商空間的結構（不必是流形），還包括迷向子群。

n維軌形包含豪斯多夫拓撲空間X，稱作底空間（underlying space）；以及一個覆疊，包含對有限交封閉的開集$U_{i}$。$\forall U_{i}$都有

• 開子集$V_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$，在有限群$\Gamma _{i}$的忠實線性作用下不變；
• 連續映射$\varphi _{i}:\ V_{i}\to U_{i}$（在$\Gamma _{i}$下不變），稱作軌形坐標圖（chart），定義了$V_{i}/\Gamma _{i}$與$U_{i}$間的同胚。

若滿足下列屬性，則軌形坐標圖的集合形成軌形圖集（atlas）：

• 對每個包含$U_{i}\subset U_{j}$，都有單射群同態$f_{ij}:\ \Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}$
• 對每個包含$U_{i}\subset U_{j}$，都有$\Gamma _{i}$-等變同胚$\psi _{ij}:\ V_{i}\to V_{j}$的開子集，稱作膠合映射（gluing map）
• 膠合映射與坐標圖相容，即$\phi _{j}\cdot \psi _{ij}=\phi _{i}$
• 膠合映射在群元素組成的意義上是唯一的，即對$\Gamma _{j}$中唯一的g，$V_{i}\to V_{j}$的任意其他可能的膠合映射都有$g\cdot \psi _{ij}$形式。

對流形上的圖集，若X的兩個軌形圖集能連續地組合成更大的軌形圖集，則稱它們等價。於是，軌形結構是軌形圖集的等價類。

注意軌形結構在同構意義上決定了軌形上任意點的迷向子群：可作為任意軌形坐標圖上點的穩定子來計算。若$U_{i}\subset U_{j}\subset U_{k}$，則在$\Gamma _{k}$中有唯一的過渡元素$g_{ijk}\in \Gamma _{k}$，使得

$g_{ijk}\cdot \psi _{ik}=\psi _{jk}\cdot \psi _{ij}$

這些過渡元素滿足

$({\rm {Ad}}g_{ijk})\cdot f_{ik}=f_{jk}\cdot f_{ij}$

以及上循環關係（不失結合性）

$f_{km}(g_{ijk})\cdot g_{ikm}=g_{ijm}\cdot g_{jkm}$

更廣義地說，在軌形坐標圖對軌形的開覆疊上，附着着叫做「復群」的組合數據。（下詳）

與流形的情形完全一樣，可對膠合映射施加可微條件，得到微分軌形。若軌形坐標圖上還存在不變的黎曼度量，且膠合映射等距，則稱為黎曼軌形。

用李廣群定義

廣群包含對象集合$G_{0}$、箭頭集$G_{1}$與結構映射（包括源映射和目標映射$s,t:G_{1}\to G_{0}$及允許箭頭組合、取逆的其他映射）。若$G_{0},\ G_{1}$都是光滑流形；所有結構映射都光滑；源映射和目標映射都是浸沒，則稱其為李廣群。源纖維與目標纖維在給定點$x\in G_{0}$的交，即集合$(G_{1})_{x}:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)$，是$G_{1}$在x點的迷向群，是個李群。若映射$(s,t):G_{1}\to G_{0}\times G_{0}$是緊合映射，則稱李廣群也緊合（proper）；若源映射和目標映射都是局部微分同胚，則稱平展。

軌形廣群由以下等價定義給出：

• 緊合平展李廣群；
• 緊合李廣群，其迷向為離散空間。

由於緊合廣群的迷向群自動地緊，離散條件意味着迷向群必須是有限群。

在上述定義中，軌形廣群與軌形圖集起類似作用。事實上，在豪斯多夫拓撲空間X上的軌形結構被定義為軌形廣群$G\rightrightarrows M$的森田等價類，以及同胚$|M/G|\simeq X$，其中$|M/G|$是李廣群G的軌道空間（即當$x\sim y$時，若有$g\in G\ (s(g)=x,\ t(g)=y)$，M對等價關係的商）。這定義表明，軌形是一種特殊的微分疊。

兩種定義間的關係

給定空間X上的軌形圖集，可構造偽群，由X的開集間所有保留了過渡函數$\varphi _{i}$的微分同胚組成。反過來，其元素的芽空間$G_{X}$是軌形廣群。此外，據軌形圖集的定義，有限群$\Gamma _{i}$都忠實地作用於$V_{i}$，所以廣群$G_{X}$自動地有效，即映射$g\in (G_{X})_{x}\mapsto \mathrm {germ} _{x}(t\circ s^{-1}),\ \forall x\in X$都是單射。若且唯若與之相關聯的軌形廣群森田等價時，兩個不同的軌形圖集會產生相同的軌形結構。於是，第一個定義的軌形結構（也稱為經典軌形）在第二個定義下是特殊的。

反過來說，給定軌形廣群$G\rightrightarrows M$，在其軌道空間上有規範軌形圖集，其相關的有效軌形廣群與G 森田等價。由於森田等價廣群的軌道空間是同胚的，在有效情況下，第二個定義的軌形結構還原了經典軌形。

因此，雖然軌形圖集的概念更簡單，在文獻中也更常見，但軌形廣群在討論非有效軌形與軌形間的映射時特別有用。例如，軌形間的映射可用廣群間的同胚描述，比底拓撲空間之間的底連續映射攜帶更多信息。

例子

• 無界流形都是軌形，其中每個群$\Gamma _{i}$都是平凡群。等價地，其對應單位廣群的森田等價類。
• 若N是緊有界流形，則其加倍（double）M可由N與其鏡像沿共同邊界粘合而成。在固定共同邊界的流形M上存在$\mathbb {Z} _{2}$的自然反射作用，商空間可被認同為N，於是N具有自然軌形結構。

• 若M是黎曼n維流形，且具有離散群Γ的余緊等距真作用（cocompact proper isometric），則軌道空間$X=M/\Gamma$具有自然軌形結構：$\forall x\in X$，取代表性的$m\in M$與其開鄰域$V_{m}$，在穩定子$\Gamma _{m}$下不變，與$T_{m}M$在m處的指數映射下的$\Gamma _{m}$子集等價確定；有限多鄰域覆蓋X，而它們的有限交（若非空）都被相應群$g_{m}\Gamma g_{m}^{-1}$與Γ-平移（Γ-translate）$g_{m}\cdot V_{m}$的交覆蓋。這樣產生的軌形稱作可發展或性質良好。
• 亨利·龐加萊的一個經典定理將福斯群構造為雙曲反射群，由雙曲面中測地三角形邊的反射生成，符合龐加萊度量。若三角形有角$\pi /n_{i}$（$n_{i}$為正整數），則其是基本域，自然是2維軌形，對應的群是雙曲三角群的例子。龐加萊還給出了這一結果對克萊因群的3維版本：這時，克萊因群Γ由雙曲反射生成，軌形是$\mathbb {H} ^{3}/\Gamma$。
• 若M是閉2維流形，則可從M中取出有限多不交閉圓盤，再分別粘回圓盤$D/\Gamma _{i}$（D是閉單位圓盤，$\Gamma _{i}$是旋轉的有限循環群），這樣便在Mi上定義了新的軌形結構。

軌形基本群

有幾種方法定義軌形基本群。更精緻的方法是用軌形覆疊空間或分類空間（廣群的空間）。最簡單的方法（Haefliger採用，瑟斯頓也使用）推廣了基本群標準定義中的環圈。

軌形路徑在底空間中，具有明確的將路徑分段提升到軌形坐標圖的方法，及明確的識別重疊坐標圖中路徑的群元素；若底路徑是環圈，則稱之為軌形環圈。兩軌形路徑若通過與軌形坐標圖中的群元素相乘而產生關聯，則它們就被確認了。軌形基本群是由軌形環圈的同倫類形成的群。

若軌形來自單連通流形M對離散群Γ的緊合剛性作用（proper rigid action）的商，則軌形基本群可被認同為Γ。總的來說，它是Γ對$\pi _{1}M$的群擴張。

若軌形來自對群作用的商，則稱其可發展或性質良好；否則稱不良。類比拓撲空間的萬有覆疊空間，可為軌形構造萬有覆疊軌形，即「軌形上的點，與連接點和基點的軌形路徑的同倫類」的對子組成的空間。這空間自然是軌形。

注意，若可收縮開子集上的軌形坐標圖對應群Γ，則Γ到軌形基本群，有自然的局部同胚。

以下條件等價：

• 軌形是良好的。
• 萬有覆疊軌形上的軌形結構平凡。
• 對可收縮開集的覆疊，局部同胚都是單射。

作為廣義微分幾何

軌形可定義在廣義微分幾何的一般框架中，可以證明其等價於佐武一郎的原始定義：

定義. 軌形是在每個點上都與某個$\mathbb {R} ^{n}/G$（n是整數，G是有限線性群，後者不是定的）局部微分同胚的微分空間（diffeological space）。

這個定義需要一些說明：

• 這個定義模仿了廣義微分幾何中流形的定義，即每個點上都與$\mathbb {R} ^{n}$存在局部微分同胚的微分空間。
• 軌形首先是微分空間，具備廣義微分幾何的集合。然後，廣義微分幾何在檢驗中，於每點都局部微分同胚於商$\mathbb {R} ^{n}/G$，其中G是有限線性群。
• 這定義等同於Haefliger軌形。
• {軌形}是{廣義微分幾何}的子範疇，其對象是微分空間，態射是光滑映射。軌形間的光滑映射，是對其廣義微分幾何而言光滑的映射。這就解決了佐武一郎在定義中所說：「如此定義的$C^{\infty }$-映射有點不方便：在不同的定義族中定義的兩個$C^{\infty }$-映射之複合並不總是$C^{\infty }$-映射。」事實上，有些軌形間的光滑映射並不作為等變映射局部提升（lift）。

注意，作為微分空間的軌形的基本群不同於上面定義的基本群，後者與結構廣群及其迷向群有關。

軌空間

在幾何群論的應用中，用Haefliger提出的略微廣義的軌形概念往往更方便。軌空間（orbispace）之於拓撲空間，如同軌形之於流形，是軌形概念在拓撲學的推廣。其定義用具有有限群的剛性作用的局部緊空間代替了軌形坐標圖模型，即具有平凡迷向的點是稠密的（忠實線性作用自動滿足這條件，因為任何非平凡群元素固定的點都會形成緊合線性子空間）考慮軌空間上的度量空間結構也是有用的，它們由軌空間上的不變度量給出，其中膠合映射保留距離。這時，通常要求軌空間坐標圖是長度空間，具有連接任意兩點的唯一測地線。

令X為賦以度量空間結構的軌空間，其坐標圖是測地線長度空間。前面關於軌形的定義和結果可推廣到軌空間基本群和萬有覆疊軌空間，及類似的可發展性標準。軌空間坐標圖上的距離函數可用於定義萬有覆疊軌空間中軌空間路徑的長度，若每個坐標圖中的距離函數曲率非正，則伯克霍夫曲線縮短論證就可證明，任何定端點軌空間路徑都與唯一的測地線同倫。將這應用於軌空間坐標圖中的常路徑，可知每個局部同態都是單射，於是：

• 曲率非正的軌空間都是良好的。

復群

每個軌形都與由復群給出的附加組合結構有聯繫。

定義

抽象單純復形Y上的復群$(Y,\ f,\ g)$由以下條件給出

• 對Y的每個單純形σ，有限群$\Gamma _{\sigma }$
• 單射同態$f_{\sigma \tau }:\ \Gamma _{\tau }\rightarrow \Gamma _{\sigma },\ \sigma \subset \tau$

• 對每個包含$\rho \subset \sigma \subset \tau$，都有群元素$g_{\rho \sigma \tau }\in \Gamma _{\rho }$使得$({\rm {Ad}}g_{\rho \sigma \tau })\cdot f_{\rho \tau }=f_{\rho \sigma }\cdot f_{\sigma \tau }$（其中Ad表示共軛的伴隨作用）

此外，群作用還要滿足上循環條件

$f_{\pi \rho }(g_{\rho \sigma \tau })g_{\pi \rho \tau }=g_{\pi \sigma \tau }g_{\pi \rho \sigma }$

對每個單形鏈$\pi \subset \rho \subset \sigma \subset \tau .$（若Y的維度小於等於2，這條件就是空的）

任意元素的選擇$h_{\sigma \tau }\in \Gamma _{\sigma }$都會產生等價的復群，定義如下

• $f_{\sigma \tau }=({\rm {Ad}}h_{\sigma \tau })\cdot f_{\sigma \tau }$
• $g_{\rho \sigma \tau }=h_{\rho \sigma }\cdot f_{\rho \sigma }(h_{\sigma \tau })\cdot g_{\rho \sigma \tau }\cdot h_{\rho \tau }^{-1}$

只要$g_{\rho \sigma _{\tau }}=1$無處不在，就稱復群是單的。

• 一個簡單的歸納論證表明，單純形上的復群都等價於各處$g_{\rho \sigma \tau }=1$的復群。

用Y的重心重分通常更方便，概念上也更吸引人。這細分的頂點對應Y的單形，因此頂點附帶一個群。重心重分的邊自然有向（對應單形的包含），有向邊給出了群的包含。三角形都附有過渡元素，屬於恰有1頂點的群；（若有）四面體給出了過渡元素的上循環關係。於是，復群只涉及重心重分的3-骨架；若是單的，則只涉及2-骨架。

例子

若X是軌形或軌空間，從軌形坐標圖$f_{i}:\ V_{i}\rightarrow U_{i}$中擇一由開子集構成的覆疊。令Y為由覆疊的神經給出的抽象單純復形：其定點是覆疊集，n單形對應非空交$U_{\alpha }=U_{i_{1}}\cap \ldots \cap U_{i_{n}}.$對每個這樣的單純形，都有相關聯的群$\Gamma _{\alpha }$，同態$f_{ij}$成為同態$f_{\sigma \tau }$。每個三元鏈$\rho \subset \sigma \subset \tau$對應交

$U_{i}\supset U_{i}\cap U_{j}\supset U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$

有坐標圖$\varphi _{i}:\ V_{i}\rightarrow U_{i},\ \varphi _{ij}:\ V_{ij}\rightarrow U_{i}\cap U_{j},\ \varphi _{ijk}:\ V_{ijk}\rightarrow U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$，以及膠合映射$\psi :\ V_{ij}\rightarrow V_{i},\ \psi ':\ V_{ijk}\rightarrow V_{ij},\ \psi '':\ V_{ijk}\rightarrow V_{i}.$

有唯一的過渡元素$g_{\rho \sigma \tau }\in \Gamma _{i}$，使$g_{\rho \sigma \tau }\cdot \psi ''=\psi \cdot \psi '.$軌形的過渡元素滿足的關係意味着復群所需的關係，這樣，復群就可通過軌形（或軌空間）坐標圖，規範地與開覆疊的神經相關聯。用非交換層理論和束的語言來說，這時的復群是作為與覆疊$U_{i}$相關聯的群層產生的；數據$g_{\rho \sigma \tau }$是非交換層上同調中的一個2-上循環，數據$h_{\sigma \tau }$給出了2-上邊界擾動。

邊徑群

復群的邊徑群（edge-path group）可定義為單純復形邊徑群的自然推廣。在Y的重心重分中，取對應於i到j的邊（$i\rightarrow j$）的生成子$e_{ij}$，則有單射$\psi _{ij}:\ \Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}.$令Γ為由$e_{ij},\ \Gamma _{k}$生成的群，具有關係

$e_{ij}^{-1}\cdot g\cdot e_{ij}=\psi _{ij}(g)$

其中$g\in \Gamma _{i}$，且

$e_{ik}=e_{jk}\cdot e_{ij}\cdot g_{ijk}$

若$i\rightarrow j\rightarrow k.$

對於定頂點$i_{0}$，邊徑群$\Gamma (i_{0})$定義為由Γ的所有積生成的子群：

$g_{0}\cdot e_{i_{0}i_{1}}\cdot g_{1}\cdot e_{i_{1}i_{2}}\cdot \dots \cdot g_{n}\cdot e_{i_{n}i_{0}}$

其中$i_{0},\ i_{1},\ \ldots ,\ i_{n},\ i_{0}$是一條邊徑，$g_{k}$位於$\Gamma _{i_{k}}$中，$e_{ji}=e_{ij}\ (i\rightarrow j).$

可發展復形

在具有有限商的單純復形X上，離散群的單純緊合作用若滿足以下條件之一，則稱該作用正則（regular）：

• X以有限子復形為基本域；
• 商$Y=X/\Gamma$具有自然單純結構；
• 商單純結構在定點的軌道表示上一致；
• 若$(v_{0},\ \ldots ,\ v_{k})$和$(g_{0}\cdot v_{0},\ \ldots ,\ g_{k}\cdot v_{k})$是單形，則對部分$g\in \Gamma ,\ g\cdot v_{i}=g_{i}v_{i}.$

這時，基本域和商$Y=X/\Gamma$可自然地確定為單純復形，由基本域中單形的穩定子給出。這樣得到的復群Y稱作可發展（developable）。

• 復群可發展，若且唯若$\Gamma _{\sigma }$到邊徑群的同態是單射。
• 復群可發展，若且唯若對每個單形σ，有單射同態$\theta _{\sigma }:\ \Gamma _{\alpha }\to \Gamma$，其中後者是定離散群，使得$\theta _{\tau }\cdot f_{\sigma \tau }=\theta _{\sigma }$。這時，單純復形X得到了規範的定義：其有k單形$(\sigma ,\ x\Gamma _{\sigma }$，其中σ是Y的k單形，x在$\Gamma /\Gamma _{\sigma }$上運行。利用復群對單形的限制等價於具有平凡上循環$g_{\rho \sigma \tau }$這一事實，可以檢驗一致性。

Γ在X的重點重分X'上的作用總滿足以下條件，弱於正則性：

• 只要σ和$g\cdot \sigma$是某單形τ的子單形，則它們就相等：$\sigma =g\cdot \sigma$

事實上，X '中的單形對應X中的單形鏈，因此單形子鏈給出的子單形由子鏈中單形的大小唯一確定。作用滿足這條件時，g必然固定了σ的所有頂點。有直接的歸納證明表明，這樣的作用在重心重分上是正則的；特別是

• 在第二重心重分X"上的作用正則；
• Γ自然地與X"中基本域的重心子分用邊徑和定點穩定子定義的邊徑群同構

事實上沒必要進行第三次重心重分：如Haefliger利用範疇論的語言指出的，這時X基本域的3-骨架已經承載了所有必要數據，包括三角形的過渡元素，可定義與Γ同構的邊徑群。

2維中，這尤其容易描述。X的基本域具有與群Y的複合的重心重分Y'相同的結構，即

• 有限2維單純復形Z；
• 所有邊$i\rightarrow j$的方向；
• 若$i\rightarrow j,\ j\rightarrow k$是邊，則 $i\rightarrow k$也是邊，且$(i,\ j,\ k)$是三角形；
• 有限群附着於定點，包含於邊；過渡元素描述了相容性，接到三角形。

這樣就可以定義邊徑群。重心子分Z'也繼承了類似結構，其邊徑群同構於Z的邊徑群。

軌邊形

若可數離散群在單純復形上有正則單純緊合作用，則商不僅可被賦予復群的結構，還可被賦予軌空間結構。這就引出了「軌邊形」（orbihedron）概念，其是軌形的簡單類似物。

定義

令X是有限單純復形，有重心重分X'。軌邊形結構包含：

• 對每個定點$i\in X$，都有由有限群$\Gamma _{i}$的剛性單純作用的單純復形$L'_{i}$。
• $L'_{i}$到X'中i的鄰域$L_{i}$的單純映射$\varphi _{i}$使得商$L'_{i}/\Gamma _{i}$與$L_{i}$一致。

$\Gamma _{i}$在$L'_{i}$上的這作用延伸到$L'_{i}$上單純錐$C_{i}$的單純作用（i和$L'_{i}$的單純連結），並固定了錐心i，映射$\varphi _{i}$延伸為單純映射$C_{i}\to {\rm {St}}(i)$（i的星），將重心帶到i上，因此$\varphi _{i}$可與$C_{i}/\Gamma _{i}$等同，在i處給出一個軌邊形坐標圖。

• 對X'的有向邊$i\rightarrow j$，單射同態$f_{ij}:\ \Gamma _{i}\to \Gamma _{j}.$
• 對每條有向邊$i\rightarrow j$，$\Gamma _{i}$等變單純膠合映射$\psi _{ij}:\ C_{i}\to C_{j}.$
• 膠合映射與坐標圖相容，即$\varphi _{j}\cdot \psi _{ij}=\varphi _{i}$
• 膠合映射在與群元素的複合的意義上唯一，即對唯一的$g\in \Gamma _{j},\ V_{i}\to V_{j}$的任何其他可能的膠合映射都具有$g\cdot \psi _{ij}$形式。

若$i\rightarrow j\rightarrow k$，則有唯一的過渡元素$g_{ijk}\in \Gamma _{k}$使得

$g_{ijk}\cdot \psi _{ik}=\psi _{jk}\cdot \psi _{ij}$

這些過渡元素滿足

$({\rm {Ad}}g_{ijk})\cdot f_{ik}=f_{jk}\cdot f_{ij}$

及上循環關係

$\psi _{km}(g_{ijk})\cdot g_{ikm}=g_{ijm}\cdot g_{jkm}$

主要性質

• 軌邊形的群論數據給出了X上的復群，因為重點重分X'的頂點i對應X中的單形。
• X上的每個復群都與X上本質上唯一的軌邊形結構相關聯。注意到與X的單形σ相對的X'的頂點i的星與鏈具有自然分解，就可得到這一關鍵事實：星與σ同σ的重心重分σ'的聯合給出的抽象單純復形同構，鏈與X中的σ鏈與σ'中σ的重心鏈的聯合同構。將復群限制在X中σ的鏈上，則所有群$\Gamma _{\tau }$都有到$\Gamma _{\sigma }$的單射同態。由於X'中的i鏈被由$\Gamma _{\sigma }$作用的單純復形規範覆疊，這就在X上定義了軌邊形結構。
• 軌邊形基本群只是相關復群的邊徑群。
• 每個軌邊形自然也是軌空間：在單純復形的幾何實現中，軌空間可用星的內部來定義。
• 軌邊形基本群可自然地等同於相關軌空間的基本群。將單純近似定理應用於軌空間坐標圖中的軌空間路徑段，便知：多面體的基本群可與邊徑群吻合，這是經典證明的直接變體。
• 與軌邊形相關的軌空間具有規範度量結構（canonical metric structure），局部上來自歐氏空間標準幾何實現中的長度度量，頂點映射到正交基上。也用其他度量結構，如雙曲空間中實現單形而得到的長度度量，其中單形沿着共同邊界等距地形成。
• 若且唯若每個軌邊形坐標圖中鏈的圍長大於等於6（即，鏈中任何閉合迴路長度至少為），與軌邊形相聯繫的軌空間擁有非正的曲率。這條件在阿達馬空間理論中十分有名，只取決於底復群。
• 萬有覆疊軌邊形的曲率非正時，其基本群是無限群，由迷向群的同構副本生成。這源於軌空間的相應結果。

群三角

歷史上，幾何群論中最重要的軌形的應用之一就是群三角。塞爾關於樹的講座將混合自由積視作對樹的作用，討論了1維「群區間」；群三角是最簡單的將其推廣到2維的示例。在$SL_{3}(\mathbb {Q} _{p})$的仿射Bruhat–Tits建造中，當離散群簡單地作用於三角時，就產生這樣的群三角；1979年，戴維·芒福德發現了$p=2$的第一個例子（下詳），作為產生與射影空間不同構而有相同貝蒂數的代數曲面的一步。Gersten & Stallings詳細研究了群三角，而上述復群的更一般情形則是Haefliger獨立提出的。由非正曲率度量空間分析有限呈現群的基本幾何方法由格羅莫夫提出。這樣，群三角對應曲率非正的2維單純復形，具有群的正規作用，在三角形上有傳遞性。

群三角是由三角形ABC組成的簡單復群，其中有這些群：

• 每個頂點的$\Gamma _{A},\ \Gamma _{B},\ \Gamma _{C}$
• 每條邊的$\Gamma _{BC},\ \Gamma _{CA},\ \Gamma _{AB}$
• 三角形本身的$\Gamma _{ABC}.$

$\Gamma _{ABC}$到其他群有單射同態，邊群$\Gamma _{XY}$到$\Gamma _{X},\ \Gamma _{Y}$也有單射同態。$\Gamma _{ABC}$到頂點群的三種映射都一致（$\Gamma _{ABC}$通常是平凡群）。對應軌空間上的歐氏度量結構曲率非正，若且唯若軌邊形坐標圖中每個頂點的鏈的圍長不小於6。

頂點上的圍長總是偶數，且正如Stallings觀察到的，在頂點A上，可描述為到達兩邊群$\Gamma _{CA},\ \Gamma _{AB}$在$\Gamma _{ABC}$上的混合自由積的$\Gamma _{A}$的自然同態核中的最小字長：

$\Gamma _{AB}\star _{\,\Gamma _{ABC}}\Gamma _{AC}\rightarrow \Gamma _{A}.$

歐氏度量結構所得結果不理想。Stallings將角α、β、γ定義為2π/圍長，在歐氏情況下α、β、γ ≤ π/3；而若只要求α + β + γ ≤ π，便有可能由龐加萊度量得到與雙曲面上相應的測地三角（取等時等同於歐氏平面）。雙曲幾何的經典結果是，雙曲中線相交於雙曲重心，與我們熟悉的歐氏幾何情形一樣。這模型的重心重分和度量在相應的軌空間上產生了曲率非正的度量結構，因此若α+β+γ≤π：

• 群三角的軌空間良好；
• 相應邊徑群（也可說是群三角的上極限）是無限群；
• 頂點群到邊徑群的同態是單射。

芒福德的例子

法諾面

設$\alpha ={\sqrt {-7}}$，由$(1-8)^{1/2}$在$\mathbb {Q} _{2}$中的二項展開式得到，並使$K=\mathbb {Q} (\alpha )\subset \mathbb {Q} _{2}$。令

${\begin{aligned}\zeta &={\rm {exp}}(2\pi i/7)\\\lambda &=(\alpha -1)/2=\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}\\\mu &=\lambda /\lambda ^{*}.\end{aligned}}$

令$E=\mathbb {Q} (\zeta )$，K上的3維向量空間，$1,\ \zeta ,\ \zeta ^{2}$為基。定義E上的K線性算子如下：

• σ為E在K上的伽羅瓦群的生成器，是由$\sigma (\zeta )=\zeta ^{2}$給出的3階元素
• τ是E上與ζ'相乘的算子，元素階數為7
• ρ是由$\rho (\zeta )=1,\ \rho (\zeta ^{2})=\zeta ,\ \rho (1)=\mu \cdot \zeta ^{2}$給出的算子，於是$\rho ^{3}$是對$\mu$的純量乘法。

$\rho ,\ \sigma ,\ \tau$生成了$GL_{3}(K)$的離散子群，緊合作用於與$SL_{3}(\mathbb {Q} _{2})$相對應的仿射Bruhat–Tits建造。這個群對建造中的所有頂點、邊與三角形都傳遞。令

$\sigma _{1}=\sigma ,\ \sigma _{2}=\rho \sigma \rho ^{-1},\ \sigma _{3}=\rho ^{2}\sigma \rho ^{-2}.$

則

• $\sigma _{1},\ \sigma _{2},\ \sigma _{3}$生成了$SL_{3}(K)$的子群Γ。
• Γ是由$\sigma ,\ \tau$生成的最小子群，在ρ的共軛作用下不變。
• Γ簡單傳遞地作用於建造中的三角形。
• 有三角形Δ，其邊的穩定子是由$\sigma _{i}$生成的3階子群。
• Δ頂點的穩定子是21階弗羅貝尼烏斯群，由兩個3階元素生成，它們穩定了在這定點相遇的邊。
• Δ的穩定子平凡。

元素$\sigma ,\ \tau$生成了頂點的穩定子。可以認為這定點的鏈等同於$SL_{3}(\mathbb {F} _{2})$的球面建造。穩定子則等同於法諾面的直射變換群，由固定一個點的3次對稱σ及所有7個點的循環置換τ生成（滿足$\sigma \tau =\tau ^{2}\sigma$）。法諾面可看做$\mathbb {F} _{8}^{*}$，σ可看作$\mathbb {F} _{8}$的弗羅貝尼烏斯自同態$\sigma (x)=x^{22}$的約束，τ則是與任意不在素域$\mathbb {F} _{2}$中元素的乘法，即$\mathbb {F} _{8}$的循環乘法群的7階生成器。這個弗羅貝尼烏斯群簡單傳遞地作用於法諾面的21個標記，即帶標記點的直線。於是，E上σ、τ的公式「提升」（lift）了$\mathbb {F} _{8}$上的公式。

芒福德還通過傳遞到子群$\Gamma _{1}=\langle \rho ,\ \sigma ,\ \tau ,\ -I\rangle$，得到了對建造頂點的簡單傳遞作用。群$\Gamma _{1}$保留了定義域為$\mathbb {Q} (\zeta )$，值域屬於$\mathbb {Q} (\alpha )$的埃爾米特形式

$f(x,\ y)=xy^{*}+\sigma (xy^{*})+\sigma ^{2}(xy^{*})$

其可看作是$U_{3}(f)\cap GL_{3}(S),\ S=\mathbb {Z} [\alpha ,\ {\frac {1}{2}}].$由於$S/(\alpha )=\mathbb {F} _{7},$所以有群同態$\Gamma _{1}\to GL_{3}(\mathbb {F} _{7}).$這作用使$\mathbb {F} _{7}^{3}$中的一個2維子空間不變，產生了同態$\Psi :\ \Gamma _{1}\to SL_{2}(\mathbb {F} _{7}),$是階數為16·3·7的群。另一方面，頂點的穩定子是21階子群，Ψ是其上的單射。於是，若合同子群$\Gamma _{0}$定義為$SL_{2}(\mathbb {F} _{7})$的2-西羅子群的Ψ下的原像，則$\Gamma _{0}$對定點的群作用一定是簡單傳遞的。

推廣

其他三角形或2維復群的例子可由上述例子的變化來構造。

Cartwright et al.考慮了對建造頂點簡單傳遞的作用。這樣的作用會在有限射影平面的標記復形中的點x-線x*間產生雙射（或改良的對偶），和點$(x,\ y,\ z)$的有向三角形集合，其在循環置換下不變，即x在z*上，y在x*上，z在y*上；任意兩點唯一確定第三點。所生成的群有生成器x（以點為標記），對每個三角形有關係$xyz=1.$一般來說，這種構造不對應於經典仿射建造上的作用。

更一般地說，如Ballmann & Brin所證的，類似的代數數據編碼了曲率非正2維單純復形頂點上的所有簡單傳遞作用，條件是每個頂點的鏈的圍長不少於6。數據包括

• 生成集S，包含逆，但不含恆等；
• 關係集$g\ h\ k\ -1$，在循環置換下不變。

S中的元素g表示定頂點v的鏈中的頂點$g\cdot v$；關係對應鏈中的邊$(g^{-1}\cdot v,\ h\cdot v)$。對於$g^{-1}h\in S,\$有定點S與邊$(g,\ h)$的圖的圍長至少要是6。可用復群和第二重心重分重建原單純復形。

有兩部分的希伍德圖

Swiatkowski基於對有向邊簡單傳遞的作用和每個三角形的3次對稱，構造了更多非正曲率2維復群的例子。這樣，復群也通過對第二重心重分的正則作用得到。最簡單的例子是Ballmann發現的：有有限群H與生成器的對稱集S（不含恆等），於是相應的凱萊圖的圍長至少為6。伴生群（associated group）由H和對合τ生成，使得$\forall g\in S,\ (\tau g)^{3}=1.$

事實上，若Γ以這種方式作用，且固定一條邊$(v,\ w),$則存在交換v、w的對合τ。v的鏈由頂點$g\cdot w\ (g\in$對稱子集$S\subset H=\Gamma _{v})$，若鏈連通則生成H。三角形假設意味着

$\forall g\in S,\ \tau \cdot (g\cdot w)=g^{-1}\cdot w$

於是，若$\sigma =\tau g,\ u=g^{-1}\cdot w,$則有

$\sigma (x)=w,\ \sigma (w)=u,\ \sigma (u)=w$

由對三角形$(v,\ w,\ u)$的簡單傳遞，可得$\sigma ^{3}=1.$

第二重心重分給出了由沿大邊相連的單子或細分三角形對組成的復群：後者依據識別S中的逆，得到的商空間$S/\sim$進行索引。單個或「成對」的三角形又沿着共同的「脊線」連接起來。除了脊線兩端的頂點（穩定子分別為H、<τ>）及大三角形的其餘頂點（穩定子由適當的σ生成）外，單形的穩定子都平凡。大三角形中的3個小三角包含過渡元素。

當S的所有元素都是對合時，便沒有三角形需要加倍（double）。若將H看作14階二面體群D₇、由對合a與7階元素b生成，其中

$ab=b^{-1}a,$

則H是由3個對合：$a,\ ab,\ ab^{5}$生成。頂點的鏈由對應的凱萊圖給出，因此只是有兩部分的希伍德圖，即與$SL_{3}(\mathbb {Q} _{2})$的仿射建造完全相同。這種鏈結構意味着，對應的單純復形必須是歐氏建造，而目前似乎還不知道這些類型的作用能否實現在經典仿射建造：芒福德群$\Gamma _{1}$（模純量）只在邊上簡單傳遞，而不在有向邊上簡單傳遞。

2維軌形

2維軌形有以下3類奇異點：

• 邊界點
• 橢圓點或n階迴轉點，如由n階旋轉的循環群商出的$\mathbb {R} ^{2}$原點。
• n階角反射器：由2n階二面體群商出的$\mathbb {R} ^{2}$原點。

緊2維軌形有歐拉示性數$\chi =\chi (X_{0})-\sum _{i}(1-1/n_{i})/2-\sum _{i}(1-1/m_{i})$，其中$\chi (X_{0})$是底拓撲流形$X_{0}$的歐拉示性數，$n_{i}$是角反射器階數，$m_{i}$是橢圓點階數。

2維緊連通軌形的歐拉示性數若為負，則具有雙曲結構；若是0，則具有歐幾里得結構；若為正，則或是不良的，或具有橢圓結構（若軌形沒有流形作為覆疊空間，則稱為不良）。也就是說，其萬有覆疊空間具有雙曲、歐氏或球面結構。

下表列出了非雙曲的緊2維連通軌形。17個拋物軌形是平面與17個壁紙群的商。

類型	歐拉示性數	底2維流形	橢圓點階數	角反射器階數
不良	1 + 1/n	球	n > 1
	1/m + 1/n	球	n > m > 1
	1/2 + 1/2n	圓盤		n > 1
	1/2m + 1/2n	圓盤		n > m > 1
橢圓	2	球
	2/n	球	n, n
	1/n	球	2, 2, n
	1/6	球	2, 3, 3
	1/12	球	2, 3, 4
	1/30	球	2, 3, 5
	1	圓盤
	1/n	圓盤		n, n
	1/2n	圓盤		2, 2, n
	1/12	圓盤		2, 3, 3
	1/24	圓盤		2, 3, 4
	1/60	圓盤		2, 3, 5
	1/n	圓盤	n
	1/2n	圓盤	2	n
	1/12	圓盤	3	2
	1	射影平面
	1/n	射影平面	n
拋物	0	球	2, 3, 6
	0	球	2, 4, 4
	0	球	3, 3, 3
	0	球	2, 2, 2, 2
	0	圓盤		2, 3, 6
	0	圓盤		2, 4, 4
	0	圓盤		3, 3, 3
	0	圓盤		2, 2, 2, 2
	0	圓盤	2	2, 2
	0	圓盤	3	3
	0	圓盤	4	2
	0	圓盤	2, 2
	0	射影平面	2, 2
	0	環面
	0	克萊因瓶
	0	環形
	0	莫比烏斯帶

3維軌形

若3維流形是閉的、不可還原的且不含任何不可壓縮面，則稱其「小」。

軌形定理. 令M為小3維流形，φ為M的周期保向非平凡微分同胚。則，M具有φ不變的雙曲或塞弗特纖維結構。

這是瑟斯頓軌形定理（1981，未經證明）的特例，是幾何化猜想的一部分。它意味着，若X的緊連通有向不可還原、具有非空奇異軌跡的非環狀3維軌形，則M具有幾何結構（在軌形的意義上）。完整證明由Boileau, Leeb & Porti (2005)給出。

應用

弦論

弦論中，「軌形」的意義稍有不同。數學中的軌形是流形的推廣，允許有鄰域微分同胚於$\mathbb {R} ^{n}$對有限群之商（$\mathbb {R} ^{n}/\Gamma$）的點。物理學中，軌形則通常描述能全局描寫為軌道空間M/G（M是流形或理論，G是其等距的群或對稱，不必是所有等距群）的對象。這些對稱性在弦論中不必有幾何解釋。

定義在軌形上的量子場論在G的定點附近變得奇異。不過，弦論要求我們在閉弦希爾伯特空間中增加新的部分——即「扭結弦」（twisted sector），當中定義在閉弦上的場在G作用下是周期性的。於是，軌形化成為了弦論的一般程序，從舊弦論推出新弦論。這能減少狀態數，因為狀態在G下必須不變；但也增加了狀態數，因為增加了扭結弦。結果通常是完美平滑的新弦論。

低能情形下，軌形上傳播的D膜由箭圖定義的規範場論描述。連接到這些D膜上的開弦沒有扭結弦，於是開弦狀態數會隨軌形化減少。

更具體地說，軌形群G是時空等距的離散子群時，若無定點，則通常得到緊光滑空間；扭結弦包含纏繞在緊維度上的閉弦，後者也稱作「纏繞態」（winding state）。

軌形群G是時空等距的離散子群，且有定點時，通常有錐奇點，因為$\mathbb {R} ^{n}/$$\mathbb {Z} _{k}$在$\mathbb {Z} _{k}$的定點處有這樣的奇點。弦論中，引力奇點通常代表着額外自由度，位於時空中的軌跡點（locus point）。在軌形情形下，這些自由度就是扭結態，是「卡」在定點上的弦。當與扭結態相關的場獲得非零真空期望值，奇點便發生變形，即度量發生變化，在點附近變得正規（regular）。江口-漢森時空就是一例由此產生的幾何。

從定點附近的D膜看來，對附着於D膜上的開弦的有效理論是超對稱場論，其真空空間有奇異點，存在額外的無質量自由度。與閉弦扭結弦有關的場以這樣一種方式同開弦耦合，即在超對稱場論的拉格朗日量中添加Fayet–Iliopoulos項，於是場獲得非零真空期望值時，Fayet–Iliopoulos項非零，理論從而變形，使奇點不再存在[1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, [2]。

卡拉比-丘流形

主條目：卡拉比–丘流形

超弦理論中，構造現實的現象學模型需要維度減化，因為弦在10維空間中才能自然傳播，而觀測到的宇宙時空則是4維的。理論的形式約束對額外「隱」變量所在的緊化空間施加了限制：尋找具有超對稱的現實4維模型時，輔助緊化空間必須是6維卡拉比-丘流形。

可能的卡拉比-丘流形有很多（數以萬計），因此目前的理論物理學文獻常用「景觀」（landscape）描述這種令人困惑的選擇。卡拉比-丘流形的一般研究在數學上非常複雜，且長期以來難以明確構造實例。軌形被證明非常有用，因為軌形能自動滿足超對稱施加的約束。其奇點提供了卡拉比-丘流形退化的例子，但從理論物理學的角度看是完全可接受的。這種軌形稱作「超對稱」：在技術上比一般卡拉比-丘流形更容易研究。通常可將非奇異卡拉比-丘流形的連續族同奇異超對稱軌形聯繫起來。4維中，可用復K3曲面說明：

• K3曲面都有16個2維循環，其拓撲等價於通常的2球。當球面趨於0時，K3曲面會出現16個奇點。這個極限代表了K3曲面模空間邊界上的一點，對應軌形$T^{4}/\mathbb {Z} _{2}\,$是由環面對逆對稱取商得到的。

1988年，對弦論中卡拉比-丘流形與不同模型（IIA、IIB）間對偶性的研究引發了鏡像對稱的想法。大約同一時期，Dixon, Harvey, Vafa & Witten首次指出了軌形的作用。

樂理

在數學和物理學的流形和各種應用外，最晚在1985年，Guerino Mazzola和後來Dmitri Tymoczko及同事(Tymoczko 2006)、(Callender & Tymoczko 2008)就已將軌形應用於樂理。Tymoczko的論文是《科學》的第一篇樂理論文。Mazzola和Tymoczko參與了有關其理論的討論，在各自的網站上發表了一系列評論。

3維軌形$T^{3}/S_{3}$的動畫。 豎起來的立方體片（長對角線垂直於圖像平面）形成彩色的沃羅諾伊區域（按和弦類似着色），區域中心代表三音和弦，最中心是增三和弦，圍繞着大三、小三和弦（石灰綠和海軍藍）。白色是退化三和弦（1個音重複3次），連接中心的三條線（雙音和弦）構成扭曲三稜柱的牆壁，與圖像垂直的2D平面起到鏡面作用。

Tymoczko將由n個（不必不同）音和弦模型化為軌形$T^{n}/S_{n}$中的點，即圓中n個無序點（不必不同）組成的空間，實現為n環面$T^{n}$（圓上n個有序點的空間）對對稱群$S_{n}$（對應有序集到無序集的移動）的商。

從音樂角度可解釋如下：

• 樂音取決於基音頻率（音高），於是以正實數$\mathbb {R} ^{+}$為參數。
• 相差一個八度（頻率翻倍）的被視作同一樂音，這相當於對頻率取底數為2的對數（產生實數：$\mathbf {R} =\log _{2}\mathbf {R} ^{+}$），然後用整數取商（對應相差若干八度），得到圓（如$S^{1}=\mathbf {R} /\mathbf {Z}$）。
• 和弦對應多個樂音，而不考慮順序——因此t個樂音（有序）對應圓上的t個有序點，或等價於t環面$T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1}$上的單點，而省略順序，相當於取對$S_{t}$的商，得到軌形。

對雙和弦，這會產生閉莫比烏斯帶；對三和弦，這會產生軌形，可描述為三稜柱，其頂面和底面帶有120°（⅓）的扭轉，等同於截面為等邊三角形、且有扭轉的3維實心環面。

由此得到的軌形自然由重複的樂音（由t的整數部分）分層：開集包含不同樂音（分區$t=1+1+\cdots +1$），還有1維奇異集，包含所有相同樂音（分區$t=t$），拓撲等價於圓，還有各種中間分區。還有一個明顯的圓，穿過等距點開集的中心。至於三和弦，三稜柱的3個側面對應2個相同樂音+1個不同樂音（分區$3=2+1$），三條邊對應1維奇異集。頂面、底面是開集的一部分，它們的出現只是因為軌形被分割了——若將其視作帶扭曲的三角環面，便消失了。

Tymoczko認為，靠近中心的和弦（音程（幾乎）相等）構成了許多西方傳統和弦的基礎，這樣將其可視化有助於分析。中心有4個和弦（十二平均律下等間距：4/4/4），對應增三和弦（可視作音集）C♯FA、DF♯A♯、D♯GB、EG♯C（之後就循環了：FAC♯ = C♯FA），12個大三和弦和12個小三和弦是緊鄰中心的點——幾乎均勻分佈。大三和弦對應間距為4/3/5（或等價地5/4/3），小三和弦則對應3/4/5。音階變化對應軌形上點的移動，相鄰點之間的移動會產生更光滑的變化。

另見

• 幾何商
• 向形
• 疊 (數學)

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