邏輯斯諦迴歸
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邏輯斯諦迴歸（英語：Logistic regression，又譯作邏輯斯諦斯迴歸、羅吉斯迴歸、邏輯迴歸、對數幾率迴歸），在統計學中是一種對數幾率模型（英語：Logit model，又譯作邏輯斯諦模型、評定模型、分類評定模型），是離散選擇法模型之一，屬於多變量分析範疇，是社會學、生物統計學、臨床、數量心理學、計量經濟學、市場營銷等統計實證分析的常用方法。
通過使事件的對數發生率（log-odd）成為一個或多個自變量的線性組合，對事件發生的概率進行建模。形式上，在二元邏輯迴歸中，有一個二元應變量，由指示變量編碼，其中兩個值標記為「0」和「1」，而自變量每個都可以是二元變量（兩個類，由指示變量）或連續變量（任何實值）。標記為「1」的值的相應概率可以在0和1之間變化；將對數發生率轉換為概率的函數就是邏輯斯諦函數，因此得名。對數發生率單位稱為logit，來自logistic unit。[1]
二元變量在統計學中廣泛用於對某一類別或事件發生概率的建模，例如團隊獲勝概率、患者健康概率等，而其中，邏輯模型則自大約1970年以來最常用的二元迴歸模型。[2]當存在兩個以上可能值（例如圖像是否是貓、狗、獅子等）時，二元變量可以推廣為分類變量，並且二元邏輯迴歸推廣為多項邏輯迴歸。如果多個類別是有序的，則可以使用序數邏輯迴歸。邏輯迴歸模型本身只是簡單地根據輸入對輸出概率進行建模，並不執行統計分類。[3]
例子
[編輯]以一個例子說明邏輯迴歸如何解決實際問題：
一個小組20名學生，各自花費0~6小時準備考試，他們不同的學習時數如何影響通過考試的概率？
問題中的應變量是考試「通過」或者「掛科」，這是用邏輯迴歸的原因，雖然分別用「1」和「0」表示，但這兩個數字不代表基數。如果問題發生變化，用0-100的成績（基數）代替通過、掛科，則可以使用迴歸分析。
下表顯示每個學生花費在學習上的小時數，以及他們通過（1）或掛科（0）。
| 小時（xk） | 0.50 | 0.75 | 1.00 | 1.25 | 1.50 | 1.75 | 1.75 | 2.00 | 2.25 | 2.50 | 2.75 | 3.00 | 3.25 | 3.50 | 4.00 | 4.25 | 4.50 | 4.75 | 5.00 | 5.50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 通過（yk） | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
對學習時間（xk）和測試結果（yk = 1 表示通過，0 表示掛科）組成的數據進行擬合。數據點由下標k索引，該下標從1到20。x變量稱為「自變量」，y變量稱為「分類變量」，由「通過」或「失敗」兩個類別組成，分別對應於分類值1和0。
模型
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| 統計學系列條目 |
| 迴歸分析 |
|---|
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| 模型 |
| 估計 |
| 背景 |
邏輯函數形式為：
其中μ是位置參數（曲線的中點，其中），s是尺度參數。該式可重寫為：
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/wiki.gdrain.workers.dev/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \beta_0 = -\mu/s} 稱為截距，是直線的y截距。是反比例參數或速率參數，是作為"x"函數的對數發生率的"y"截距和斜率。反之，，並且。
邏輯斯諦分佈公式
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其中參數常用最大似然估計。
IIA假設
[編輯]全名為Independent and irrelevant alternatives假設，也稱作IIA效應，指Logit模型中的各個可選項是獨立的。
IIA假設示例
[編輯]市場上有A，B，C三個商品相互競爭，分別佔有市場份額：60%，30%和10%，三者比例為：6:3:1
一個新產品D引入市場，有能力佔有20%的市場——
如果滿足IIA假設，各個產品獨立作用，互不關聯：新產品D佔有20%的市場份額，剩下的80%在A、B、C之間按照6:3:1的比例瓜分，分別佔有48%，24%和8%。
如果不滿足IIA假設，比如新產品D跟產品B相似度高，則新產品D的CP值高而奪去產品B的部分市場(總份額的20%)，則產品B剩餘10%，而產品A和C的市場份額保持60%和10%不變。
滿足IIA假設的優點
[編輯]IIA假設的檢驗
[編輯]Hausman檢驗
[編輯]一般化模型的檢驗
[編輯]IIA問題的解決方法
[編輯]| 機器學習與資料探勘 |
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可以將可選項間的相關性建模
巢式Logit模型
[編輯]巢式（Nested）表示可選項被分作不同的組，組與組之間不相關，組內的可選項相關，相關程度用1-λg來表示（1-λg越大，相關程度越高）
對偶組合Logit模型
[編輯]一般化分簇Logit模型
[編輯]混合Logit模型
[編輯]應用
[編輯]配體結合分析
[編輯]配體結合分析的典型校準曲線是S形的，下邊界（漸近線）靠近背景信號（非特異性結合），而上漸近線靠近最大的飽和響應。 四參數邏輯模型通常是擬合這種形狀校準曲線的首選，可以準確描述測量信號值與分析物濃度之間的S形關係。當不對稱性明顯時會添加第五個參數，但可能會導致擬合算法變得不穩定。[4]
二類評定模型（Binary Logit Model）
[編輯]- 僅有兩個可選項：V1n，V2n
| 變量類型 | 統計量 | 組別比較 | 迴歸模型 |
|---|---|---|---|
| numerical | mean | t-test/ANOVA | 線性迴歸 |
| categorical | percentage | Chi-square test | 邏輯斯諦迴歸 |
| persontime | KM estimates (survival curves) |
Log-rank test | 比例風險迴歸 |
參考書目
[編輯]- Agresti, Alan: Categorical Data Analysis. New York: Wiley, 1990.
- Amemiya, T., 1985, Advanced Econometrics，Harvard University Press.
- Hosmer, D. W. and S. Lemeshow: Applied logistic regression. New York; Chichester, Wiley, 2000.
參見
[編輯]參考資料
[編輯]- ^ Hosmer, David W.; Lemeshow, Stanley. Applied logistic regression. Wiley series in probability and statistics 2. ed., [Nachdr.] New York: Wiley. 200. ISBN 978-0-471-35632-5. 缺少或
|title=為空 (幫助) - ^ Cramer, J.S. The Origins of Logistic Regression. SSRN Electronic Journal. 2003. ISSN 1556-5068. doi:10.2139/ssrn.360300 （英語）.
- ^ Walker, Strother H.; Duncan, David B. Estimation of the Probability of an Event as a Function of Several Independent Variables. Biometrika. 1967-06, 54 (1/2) [2023-11-11]. doi:10.2307/2333860. （原始內容存檔於2024-02-29）.
- ^ Findlay, John W. A.; Dillard, Robert F. Appropriate calibration curve fitting in ligand binding assays. The AAPS Journal. 2007-06, 9 (2). ISSN 1550-7416. doi:10.1208/aapsj0902029.
