在微分幾何中,黎曼曲率張量或黎曼張量是表達黎曼流形的曲率的標準方式,更普遍的,它可以表示有仿射聯絡的流形的曲率
,包括無扭率或有撓率的。曲率張量通過列維-奇維塔聯絡(更一般的,一個仿射聯絡)
(或者叫協變導數)由下式給出:
![{\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a521909ebf9b30c4cfb21369a3a25d3ed8dc5f7c)
這裏
是一個流形切空間的線性變換;它對於每個參數都是線性的。
注意有些作者用相反的符號定義曲率.
如果
與
是坐標向量場則
所以公式簡化為
![{\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62561fbb0cba8fd68c89c87a9da5c624138bbe1)
也就是說曲率張量衡量協變導數的反交換性。
線性變換
也稱曲率變換。
對稱性和恆等式[編輯]
進一步,由上式定義了如下的三重線性映射
![{\displaystyle R:(w,u,v)\rightarrow R(u,v)w,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4be689a1b1ed804c5cab8e3ccff7824c2e69c7)
映射
關於每一個自變量都是
線性的, 故
是
上的
型光滑張量場, 稱之為仿射聯絡空間
的曲率張量.
在坐標向量場下,
可以表示為
![{\displaystyle R=R_{kij}^{l}dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{l}}}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7ed0a75eceb0f4006c877a1a13b7d3c34ad467)
還可以定義四重線性映射,如下
![{\displaystyle R:(w,z,u,v)\rightarrow g(R(u,v)w,z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4881b6a1b575638e903b640c67ba79ae133388be)
則映射
關於每一個自變量都是
線性的, 故
是黎曼流形
上的
型光滑張量場, 稱之為黎曼流形
的黎曼曲率張量. 在坐標向量場下,
可以表示為
![{\displaystyle R=R_{klij}dx^{k}\otimes dx^{l}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f3b7259896dba1c83219b3f6b6adb9c7db7bd9)
- 註:上述紡射聯絡空間
上的曲率張量
與黎曼流形
上的黎曼曲率張量
是同一個對象的不同表現形式.
- 注
.
黎曼曲率張量有如下的對稱性:
![{\displaystyle R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d13525524bc23856de91ff8cabce26fa6729d0)
![{\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d42774b50669deda325ebec4315f4814f5e9d1)
![{\displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e6d0ce8b2489e0187c6609b2bc1e9701a458d6)
最後一個恆等式由里奇發現,但是稱為第一比安基恆等式(First Bianchi identity)或代數比安基恆等式(Algebraic Bianchi identity),因為和下面的比安基恆等式相像。
這三個恆等式組成曲率張量對稱性的完整列表,也就是給定說任何滿足上述恆等式的張量,可以找到一個黎曼流形在某點的曲率張量和它一樣。簡單的計算表明這樣一個張量有
個獨立分量。
另一個有用的恆等式可以由上面這些導出:
![{\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9aa22be40292bb4664669357735def785e21c0)
比安基恆等式(Bianchi identity),經常也叫第二比安基恆等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恆等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到協變導數:
![{\displaystyle \nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6792f3802499dfcc9874a655502d24043388b6a)
給定流形某點的任一坐標表示,上述恆等式可以用黎曼曲率張量的分量形式表示為:
![{\displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae1a00bee64094fd402a275c917d6bd9c08a26a)
![{\displaystyle R_{abcd}=R_{cdab}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fca4705de16558c69eb0502664c38b8b19db8f)
- 第一(代數)比安基恆等式:
或等價地寫為![{\displaystyle R_{a[bcd]}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb4de7a05d09f4779185892bb1b1513134acebb)
- 第二(微分)比安基恆等式:
或等價地寫為![{\displaystyle R_{ab[cd;e]}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c935e2110170c1c4567b2cedf93d746ca8b0a16)
其中方括號表示對下標的反對稱化,分號表示協變導數。這些恆等式在物理中有應用,特別是廣義相對論。
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外部連結[編輯]