多重指标

多重指标是数学中一种方便的表示法，它将指标中的单个整数推广为多个整数，它可以简化多元微积分、偏微分方程与分布理论中的计算，也便于操作幂级数。

定义与运算

一个$n$-维多重指标是一个由整数构成的向量

$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$

设$\alpha ,\beta$为多重指标，定义：

$\alpha \pm \beta :=(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})$

$\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i$

$|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$

应用最广的是非负的多重指标，此时可以定义：

$\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!$

${\alpha \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}$（假设$\alpha \geq \beta$）

设$x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$，定义$\mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}$

$D^{\alpha }:=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}\ldots D_{n}^{\alpha _{n}}$其中$D_{i}^{j}:=\partial ^{j}/\partial x_{i}^{j}$

命题。若$i,k$是非负的$n$维多重指标，且$x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$，则

$D^{i}x^{k}={\begin{cases}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&i\leq k\\0&i\nleq k\end{cases}}$

按定义直接操作即可证明。

应用

多元微积分

多重指标可以将单变元微积分的许多结果直接推广到多变元。以下是几个例子：

多元幂级数：有两个以上变元的幂级数通常写成

$s(\mathbf {x} )=\sum _{I}a_{I}\mathbf {x} ^{I}$

其中$I$是$n$-维多元指标而$\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$，以简化冗长的表法

$s(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}}a_{i_{1}\ldots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$

多项展开

$\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}$

莱布尼茨公式：设$u,v$存在够高阶的导数，则

$D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha \choose \nu }D^{\nu }u\,D^{\alpha -\nu }v}$

泰勒展开式：对一多元解析函数f，当$|\mathbf {h} |$充分小时有下述展开

$f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }$

其实这不外是定义，多元指标在此提供了简练的表示法。

对于存在够高阶导数的函数，我们也有带余项的泰勒展开式：

$f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}+R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )$

其中的最后一项（余项）有多种表法，例如柯西的积分表法：

$R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {\mathbf {h} ^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}D^{\alpha }f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\,dt$

偏微分算子

一个形式上的$n$变元$N$-阶偏微分算子能以多重指标写成

$P(D)=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}$

分部积分：对有界定义域$\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$上的紧支集光滑函数，我们有

$\int _{\Omega }{}{u(D^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(D^{\alpha }u)v\,dx}$

此公式用以定义分布与弱导数。

文献

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

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