阿佩尔序列

在数学中，阿佩尔序列是得名于十九世纪法国数学家保罗·埃米尔·阿佩尔（Paul Émile Appell）^[1]的一类多项式序列 {p_n(x)}_{n = 0, 1, 2, ...}。阿佩尔序列满足以下关系：

{d \over dx}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),

其中的 p₀(x) 是非零常数。

除了一些平凡的例子如 { xⁿ } 以外，最值得注意的阿佩尔序列是埃尔米特多项式、伯努利多项式以及欧拉多项式。所有的阿佩尔序列都是谢弗序列，但要注意的是绝大多数谢弗序列都不是阿佩尔序列。

等价的阿佩尔序列定义方式

最常见的阿佩尔序列的定义就是以上的

的关系式。此外，以下的条件也可以被验证是与之等价的：

纯数数列 {c_n}_{n = 0, 1, 2, ...} 满足 c₀ ≠ 0，并且
$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}c_{k}x^{n-k};$
纯数数列 {c_n}_{n = 0, 1, 2, ...} 满足 c₀ ≠ 0，并且
$p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n},$

其中 $D={d \over dx};$
对所有的 n = 0, 1, 2, ...,
$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)y^{n-k}.$

假设

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},

其中后一个等式是在以x为不定元的多项式构成的线性空间中的线性算子 S 的定义式。并定义：

T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}

为 S 的逆算子，其中的系数 a_k 是形式幂级数的逆系数。这样得到

Tp_{n}(x)=x^{n}.\,

在影子演算的约定中，算子 T 一般被用来代表阿佩尔序列 {p_n}，可以定义对数算子：

\log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}\right)

运用通常的 log(1 + x) 的幂级数展开表达式以及通常的复合形式幂级数定义后，可以得到：

p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,

当阿佩尔序列是埃尔米特多项式的时候，这个关系式也可以变化为埃尔米特多项式的递推公式。

Paul Appell, "Sur une classe de polynômes", Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 2^e série, tome 9, 1880.
Steven Roman and Gian-Carlo Rota, "The Umbral Calculus", Advances in Mathematics, volume 27, pages 95 – 188, (1978).
G.-C. Rota, D. Kahaner, and A. Odlyzko, "Finite Operator Calculus", Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, no. 3, June 1973. Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975.
Steven Roman. The Umbral Calculus. Dover Publications.
Theodore Seio Chihara. An Introduction to Orthogonal Polynomials. Gordon and Breach, New York. 1978. ISBN 0-677-04150-0.