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可分离变量的偏微分方程

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可分离变量的偏微分方程(PDE)是指一种偏微分方程,在求解时可以用分离变量法分离为一组阶数较低的微分方程。这一般是因为偏微分方程满足某种形式或是对称。因此可以利用求解一组较简单的偏微分方程来求解原问题,若可以简化为一维的问题,甚至可以用变成常微分方程

分离变量法最常见的形式是其解可以假设为几个函数的积,而每个函数只有一个自变量。例如给予一个 元函数 偏微分方程,猜想解答的形式为

这是一种特别的分离变量法,称为-分离变量法,此方式是将解写成和座标有关的固定函数,以及以各座标为自变量函数的乘积。上的拉普拉斯方程是一个可以用-分离变量法求解的偏微分方程的例子,在三维空间下会用六维球面座标变换英语6-sphere coordinates来求解。

偏微分方程的分离变量法和常微分方程的分离变量法不同,后者是指问题可以变成二个积分相等的形式。

范例

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例如,考虑非时变的薛定谔方程

针对函数(为简化问题,其为无因次量)(等效的作法是考虑非齐次的亥姆霍兹方程)。若三维函数形式如下

则此问题可以分解为三个一维的常微分方程,函数分别是,最后的解可以写成。(薛定谔方程中可以分离变量求解的例子已由艾森哈特(Eisenhart)在1948年列举[1])。

参考资料

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  1. ^ L. P. Eisenhart, "Enumeration of potentials for which one-particle Schrodinger equations are separable," Phys. Rev. 74, 87-89 (1948).