广义逆阵

广义逆（Generalized inverse），是线性代数中针对矩阵的一种运算。一个矩阵A的广义逆叫做A的广义逆阵，是指具有部分逆矩阵的特性，但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵。假设一矩阵$A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$及另一矩阵$A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n}$，若$A^{\mathrm {g} }$满足$AA^{\mathrm {g} }A=A$，则$A^{\mathrm {g} }$即为$A$的广义逆阵。

广义逆也称为伪逆（pseudoinverse），有些时候，伪逆特指摩尔－彭若斯广义逆。

建构广义逆阵的目的是针对可逆矩阵以外的矩阵（例如非方阵的矩阵）可以找到一矩阵有一些类似逆矩阵的特性。任意的矩阵都存在广义逆阵，若一矩阵存在逆矩阵，逆矩阵即为其唯一的广义逆阵。有些广义逆阵可以定义在和结合律乘法有关的数学结构（例如半群）中。

提出广义逆阵的原因

考虑以下的线性方程

$Ax=y$

其中$A$为$n\times m$的矩阵，而$y\in {\mathcal {R}}(A)$ ， $A$的列空间。 若矩阵$A$为可逆矩阵，则$x=A^{-1}y$即为方程式的解。而若矩阵$A$为可逆矩阵

$AA^{-1}A=A$

假设矩阵$A$不可逆或是$n\neq m$，需要一个适合的$m\times n$矩阵$G$使得下式成立

$AGy=y$

因此$Gy$为线性系统$Ax=y$的解。 而同样的，$m\times n$阶的矩阵$G$也会使下式成立

$AGA=A$

因此可以用以下的方式定义广义逆阵：假设一个$n\times m$的矩阵$A$，$m\times n$的矩阵$G$若可以使下式成立，矩阵$G$即为$A$的广义逆阵

$AGA=A$

产生广义逆阵

以下是一种产生广义逆阵的方式：

1. 若$A=BC$为其秩分解，则$G=C_{r}^{-}B_{l}^{-}$为$A$的广义逆阵，其中$C_{r}^{-}$为$C$的右逆矩阵，而$B_{l}^{-}$为$B$的左逆矩阵。
2. 若$A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q$，其中$P$及$Q$为可逆矩阵，则$G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}$是$A$的广义逆阵，其中$U,V$及$W$均为任意矩阵。
3. 令$A$为秩为$r$的矩阵，在不失一般性的情形下，令$A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}}$，其中$B_{r\times r}$为$A$的可逆子矩阵，则$G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}$为$A$的广义逆阵。

广义逆阵的种类

彭若斯条件可以用来定义不同的广义逆阵：针对$A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$及$A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n},$

1.)	$AA^{\mathrm {g} }A=A$
2.)	$A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }$
3.)	$(AA^{\mathrm {g} })^{\mathrm {T} }=AA^{\mathrm {g} }$
4.)	$(A^{\mathrm {g} }A)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {g} }A$

若$A^{\mathrm {g} }$满足条件(1.)，即为$A$的广义逆阵，若满足条件(1.)和(2.)，则为$A$的广义反身逆阵（generalized reflexive inverse），若四个条件都满足，则为$A$的摩尔－彭若斯广义逆。

以下是一些其他种类的广义逆阵

• 单边逆矩阵（左逆矩阵或是右逆矩阵）若矩阵A的维度是$n\times m$且为 满秩，若$n>m$则用左逆矩阵，若$n<m$则用右逆矩阵。
  • 左逆矩阵为$A_{\mathrm {left} }^{-1}=\left(A^{\mathrm {T} }A\right)^{-1}A^{\mathrm {T} }$，也就是$A_{\mathrm {left} }^{-1}A=I_{m}$，其中$I_{m}$为$m\times m$单位矩阵。
  • 右逆矩阵为$A_{\mathrm {right} }^{-1}=A^{\mathrm {T} }\left(AA^{\mathrm {T} }\right)^{-1}$，也就是$AA_{\mathrm {right} }^{-1}=I_{n}$，其中 $I_{n}$为$n\times n$单位矩阵。
• 德拉任逆矩阵
• 博特-达芬逆矩阵
• 摩尔－彭若斯广义逆

应用

任何一种广义逆阵都可以用来判断线性方程组是否有解，若有解时列出其所有的解。若以下n × m的线性系统有解存在

$Ax=b$

其中向量$x$为未知数，向量b为常数，以下是所有的解

$x=A^{\mathrm {g} }b+[I-A^{\mathrm {g} }A]w$

其中参数w为任意矩阵，而$A^{\mathrm {g} }$为$A$的任何一个广义逆阵。解存在的条件当且仅当$A^{\mathrm {g} }b$为其中一个解，也就是当且仅当$AA^{\mathrm {g} }b=b$。

参考资料

• Yoshihiko Nakamura. * Advanced Robotics: Redundancy and Optimization. Addison-Wesley. 1991. ISBN 0201151987. 
• Zheng, B; Bapat, R. B. Generalized inverse A(2)T,S and a rank equation. Applied Mathematics and Computation. 2004, 155: 407–415. doi:10.1016/S0096-3003(03)00786-0. 
• S. L. Campbell and C. D. Meyer. Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover. 1991. ISBN 978-0-486-66693-8. 
• Adi Ben-Israel and Thomas N.E. Greville. Generalized inverses. Theory and applications 2nd. New York, NY: Springer. 2003 [2016-07-08]. ISBN 0-387-00293-6. （原始内容存档于2016-08-18）. 
• C. R. Rao and C. Radhakrishna Rao and Sujit Kumar Mitra. Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York: John Wiley & Sons. 1971: 240. ISBN 0-471-70821-6. 

相关条目

• 反元素
• 摩尔－彭若斯广义逆
• 弱逆

外部链接

• 15A09 数学学科分类标准中对于反矩阵及广义逆阵的分类 search