倒三角算符

倒三角算符，又稱向量微分算子、Nabla算子（Nabla）、Del算子（del operator），符號為∇，是一個向量微分算子，但本身並非一個向量。

其形式化定義為：

$\nabla ={\mathrm {d} \over \mathrm {d} r}$

在$n$維空間中，分母$\mathrm {d} r$為含$n$個分量的向量，因而$\nabla$本身就是個$n$維向量算子。

三維情況下，$\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial z}}\mathbf {k}$ 或 $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

二維情況下，$\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j}$ 或 $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}}\right)$

$\nabla$作用於不同類型的量，得到的就是不同類型的新量：

$\nabla$直接作用於函數$F(r)$（不論$F$是純量還是向量），意味著求$F(r)$的梯度，表示為：$\nabla F(r)$（純量函數的梯度為向量，向量的梯度為二階張量）；

$\nabla$與非純量函數$F(r)$由點積符號 $\cdot$ 連接，意味著求$F(r)$的散度，表示為：$\nabla \cdot F(r)$；

$\nabla$與非純量（三維）函數$F(r)$由叉積符號$\times$連接，意味著求$F(r)$的旋度，表示為：$\nabla \times F(r)$。

名稱

Nabla算子的名字來自希臘語中一種被稱為納布拉琴的豎琴。相關的詞彙也存在於亞拉姆語和希伯來語中。

該符號的另一常見的名稱是atled，因為它是希臘字母Δ倒過來的形狀。除了atled外，它還有一個名稱是del。

Del算子在標準HTML中寫為&nabla，而在LaTeX中為\nabla。在Unicode中，它是十進制數8711，也即十六進制數0x2207。

Del算子在數學中用於指代梯度算符，並可組成散度、旋度和拉普拉斯算子。它也用於指代微分幾何中的聯絡（可以視為更廣意義上的梯度算子）。它由哈密爾頓引入。

參見

• 在圓柱和球坐標系中的del