凸集

凸集

非凸集（凹集）

在點集拓撲學與歐幾里得空間中，凸集（Convex set）是一個點集合，其中每兩點之間的線段點都落在該點集合中。

凸集實例

• 區間是實數的凸集。
• 依據定義，中空的圓形稱為圓（circle），它不是凸集；實心的圓形稱為圓盤（disk），它是凸集。
• 凸多邊形是歐幾理得平面上的凸集，它們的每隻角都小於180度。
• 單純形是凸集，對於單純形的頂點集合來說，單純形是它們的最小凸集，所以單純形也是一個凸包。
• 定寬曲線是凸集。

凸集的延森不等式定義

在度量幾何中，琴生不等式（Jensen's inequality）為凸集給出一個最健全的解釋，而不必牽涉到二階導數：

假設$S$為在實或複向量空間的集。若對於所有$x,y\in S$和所有$t\in [0,1]$，有$(1-t)x+ty\in S$，則稱$S$為凸集。

簡單而言，就是$S$中的任何兩點之間的直線段都屬於$S$。因此，凸集是一個連通空間。

特殊凸集

特殊凸集是特別給了名稱的凸集，它們可能是具有額外性質的凸集，或是在某種定義下的凸集（非一般定義中的凸集）。

具有額外性質的凸集

• 絕對凸集：若$S$既是凸集又是平衡集，則稱$S$為絕對凸的。

在某種定義下的凸集

• 星形凸集：若集$S$中存在一點$x_{0}$，使得由$x_{0}$到$S$中任何一點的直線段都屬於$S$，則稱$S$為星形域或星形凸集。星形域是簡單連通的。

性質

若$S$是凸集，對於任意$u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}\in S$，及所有非負數$\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$滿足$\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{r}=1$，都有 $\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}\in S$。這個向量稱為$u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}$的凸組合。

非歐幾何的凸集

對於非歐平面，可用測地線來取代在歐幾理德凸集的定義內直線段。

參見

• 凸函數
• 凸包