Floyd-Warshall演算法

Floyd-Warshall演算法
概況
類別	全域最短路徑問題（適用於帶權圖）
資料結構	圖
複雜度
平均時間複雜度	$\Theta (|V|^{3})$
最壞時間複雜度	$O(|V|^{3})$
最佳時間複雜度	$\Omega (|V|^{3})$
空間複雜度	$\Theta (|V|^{2})$
相關變數的定義
$V$	點集

Floyd-Warshall演算法（英語：Floyd-Warshall algorithm），中文亦稱弗洛伊德演算法或佛洛依德演算法，是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法，可以正確處理有向圖或負權（但不可存在負權迴路）的最短路徑問題，同時也被用於計算有向圖的遞移閉包。

Floyd-Warshall演算法的時間複雜度為$O(|V|^{3})$，空間複雜度為$O(|V|^{2})$，其中$V$是點集。

原理

Floyd-Warshall演算法的原理是動態規劃。

設$D_{i,j,k}$為從$i$到$j$的只以$(1..k)$集合中的節點為中間節點的最短路徑的長度。

1. 若最短路徑經過點k，則$D_{i,j,k}=D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1}$；
2. 若最短路徑不經過點k，則$D_{i,j,k}=D_{i,j,k-1}$。

因此，$D_{i,j,k}={\mbox{min}}(D_{i,j,k-1},D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1})$。

在實際演算法中，為了節約空間，可以直接在原來空間上進行迭代，這樣空間可降至二維。

演算法描述

Floyd-Warshall演算法的虛擬碼描述如下：

1 let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity)
2 for each vertex v
3    dist[v][v] ← 0
4 for each edge (u,v)
5    dist[u][v] ← w(u,v)  // the weight of the edge (u,v)
6 for k from 1 to |V|
7    for i from 1 to |V|
8       for j from 1 to |V|
9          if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j] 
10             dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j]
11         end if

其中dist[i][j]表示由點$i$到點$j$的代價，當其為 ∞ 表示兩點之間沒有任何連接。

使用動態規劃的演算法

• 最長公共子序列
• 維特比演算法

實現

Floyd演算法在不同的程式語言中均有大量的實現方法：

• C++：boost::graph（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）庫下
• C#：QuickGraph（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）和QuickGraphPCL（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）中均有相關實現方法
• Java：Apache Commons Graph（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）庫中
• JavaScript：Cytoscape庫中
• MATLAB：Matlab_bgl（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）包中
• Perl：Graph（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）組件下
• Python：SciPy庫下（scipy.sparse.csgraph（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）），NetworkX庫中也有
• R：e1071（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）和Rfast（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）包內

參見

• 圖論最短路
• Dijkstra演算法
• Bellman-Ford演算法