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包络定理

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包络定理(Envelop Theorem)是带参数的最优化问题中的一个定理。这个定理的内容是,参数的值变动时,目标函数的变动只和参数的变动有关,而与自变量(因参数变动而引起)的变动无关。包络定理在最优化领域非常有用。

具体表述

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无约束的情形

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上的可微实函数,其中是自变量,是参数,目标是选择适当的以最大化/最小化。设,其中取最大值/最小值时的,则包络定理即

[1][2]

证明

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根据全微分公式有

因为取最值时必有的一阶偏导数为零,即

故可得到

也即成立。

有约束的情形

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在无约束的情形下加上个同样可微的实约束函数,则包络定理变为

其中拉格朗日函数

证明过程与无约束时类似,只是取最值时变为

参考文献

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  1. ^ Afriat, S. N. Theory of Maxima and the Method of Lagrange. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1971, 20 (3): 343–357. doi:10.1137/0120037. 
  2. ^ Takayama, Akira. Mathematical Economics Second. New York: Cambridge University Press. 1985: 137–138 [2018-11-10]. ISBN 0-521-31498-4. (原始内容存档于2017-02-22). 

参见

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