汉娜·诺伊曼猜想
群论中，汉娜·诺伊曼猜想是关于一个自由群的两个有限生成子群的交的秩，1957年由汉娜·诺伊曼提出。[1]2011年伊戈尔·米涅耶夫（Igor Mineyev）[2]和乔尔·弗里德曼（Joel Friedman）[3]各自证明了这个猜想。
猜想叙述
[编辑]设H, K ≤ F(X)是自由群F(X)的两个非平凡有限生成子群， L = H ∩ K为其交，这个猜想指
- rank(L) − 1 ≤ (rank(H) − 1)(rank(K) − 1).
其中对群G，rank(G)为其秩，即G的生成集合的最小大小。按尼尔森－施赖埃尔（Nielsen-Schreier）定理，自由群的子群也都是自由群，而自由群的秩等于任一个自由基底的大小。
历史
[编辑]这个猜想的灵感来自Howson在1954年的一条定理。[4]他证明了一个自由群的任何两个有限生成子群的交都是有限生成的，即是有有限秩。他并证明了若H和K是自由群F(X)有限生成子群，其秩分别为n ≥ 1及m ≥ 1，那么H ∩ K的秩s适合
- s − 1 ≤ 2mn − m − n.
汉娜·诺伊曼在一篇1956年的论文中，[5]改进了上限
- s − 1 ≤ 2mn − 2m − n.
诺伊曼在1957年的附录中，[1]把上限改进到
- s − 1 ≤ 2(m − 1)(n − 1).
她又猜想上式右边去掉因数2也成立，这就是以其命名的猜想。
参考
[编辑]- ^ 1.0 1.1 Hanna Neumann. On the intersection of finitely generated free groups. Addendum. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 5 (1957), p. 128
- ^ Igor Minevev, "Submultiplicativity and the Hanna Neumann Conjecture." （页面存档备份，存于互联网档案馆） Ann. of Math., 175 (2012), no. 1, 393-414
- ^ Joel Friedman, "Sheaves on Graphs, Their Homological Invariants, and a Proof of the Hanna Neumann Conjecture." （页面存档备份，存于互联网档案馆） to appear in Memoirs of the AMS
- ^ A. G. Howson. On the intersection of finitely generated free groups. Journal of the London Mathematical Society, vol. 29 (1954), pp. 428–434
- ^ Hanna Neumann. On the intersection of finitely generated free groups. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 4 (1956), 186–189.