漢娜·諾伊曼猜想
群論中，漢娜·諾伊曼猜想是關於一個自由群的兩個有限生成子群的交的秩，1957年由漢娜·諾伊曼提出。[1]2011年伊戈爾·米涅耶夫（Igor Mineyev）[2]和喬爾·弗里德曼（Joel Friedman）[3]各自證明了這個猜想。
猜想敘述
[編輯]設H, K ≤ F(X)是自由群F(X)的兩個非平凡有限生成子群， L = H ∩ K為其交，這個猜想指
- rank(L) − 1 ≤ (rank(H) − 1)(rank(K) − 1).
其中對群G，rank(G)為其秩，即G的生成集合的最小大小。按尼爾森－施賴埃爾（Nielsen-Schreier）定理，自由群的子群也都是自由群，而自由群的秩等於任一個自由基底的大小。
歷史
[編輯]這個猜想的靈感來自Howson在1954年的一條定理。[4]他證明了一個自由群的任何兩個有限生成子群的交都是有限生成的，即是有有限秩。他並證明了若H和K是自由群F(X)有限生成子群，其秩分別為n ≥ 1及m ≥ 1，那麼H ∩ K的秩s適合
- s − 1 ≤ 2mn − m − n.
漢娜·諾伊曼在一篇1956年的論文中，[5]改進了上限
- s − 1 ≤ 2mn − 2m − n.
諾伊曼在1957年的附錄中，[1]把上限改進到
- s − 1 ≤ 2(m − 1)(n − 1).
她又猜想上式右邊去掉因數2也成立，這就是以其命名的猜想。
參考
[編輯]- ^ 1.0 1.1 Hanna Neumann. On the intersection of finitely generated free groups. Addendum. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 5 (1957), p. 128
- ^ Igor Minevev, "Submultiplicativity and the Hanna Neumann Conjecture." （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Ann. of Math., 175 (2012), no. 1, 393-414
- ^ Joel Friedman, "Sheaves on Graphs, Their Homological Invariants, and a Proof of the Hanna Neumann Conjecture." （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） to appear in Memoirs of the AMS
- ^ A. G. Howson. On the intersection of finitely generated free groups. Journal of the London Mathematical Society, vol. 29 (1954), pp. 428–434
- ^ Hanna Neumann. On the intersection of finitely generated free groups. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 4 (1956), 186–189.