倒易点阵

一个二维晶体及其倒易点阵

倒易点阵（英语：reciprocal lattice），又称倒（易）晶格、倒（易）格子，是物理学中描述空间波函数的傅立叶变换后的周期性的一种方法。相对于正晶格所描述的实空间周期性，倒晶格描述的是动量空间，亦可认为是k空间的周期性。根据位置和动量所满足的庞特里亚金对偶性，布拉菲晶格的倒晶格仍然是一种布拉菲晶格，而倒晶格的倒晶格就会变回原始晶格（正晶格）。

数学描述

一维晶格

对于以${\boldsymbol {a}}$为基矢的一维晶格，其倒格子的基矢为

${\boldsymbol {b}}=2\pi {\frac {\boldsymbol {a}}{a^{2}}}$

二维晶格

对于以$({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}})$为基矢的二维晶格，定义其二维平面法线向量为${\boldsymbol {n}}$，其倒格子的基矢为

${\boldsymbol {b_{1}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {n}}}{{\boldsymbol {a_{1}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {n}})}}$

${\boldsymbol {b_{2}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {a_{1}}}}{{\boldsymbol {a_{2}}}\cdot ({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {a_{1}}})}}$

三维晶格

对三维晶格而言，我们定义素晶胞的基矢 $({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},{\boldsymbol {a_{3}}})$，可以用下列公式决定倒晶格的晶胞基矢$({\boldsymbol {b_{1}}},{\boldsymbol {b_{2}}},{\boldsymbol {b_{3}}})$

${\boldsymbol {b_{1}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}}{{\boldsymbol {a_{1}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}})}}$

${\boldsymbol {b_{2}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{3}}}\times {\boldsymbol {a_{1}}}}{{\boldsymbol {a_{2}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{3}}}\times {\boldsymbol {a_{1}}})}}$

${\boldsymbol {b_{3}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}}}{{\boldsymbol {a_{3}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}})}}$

倒晶格与正晶格的关系

倒晶格与正晶格的基矢满足以下关系

${\boldsymbol {a_{i}}}\cdot {\boldsymbol {b_{j}}}=2\pi \delta _{ij}={\begin{cases}2\pi ,&i\ =\ j\\0,&i\ \neq \ j\end{cases}}$

定义三维中的倒晶格向量G

$\mathbf {G} =h{\boldsymbol {b_{1}}}+k{\boldsymbol {b_{2}}}+l{\boldsymbol {b_{3}}}$

其中(h,k,l)为密勒指数，向量G的模长与正晶格的晶面间距有以下关系

$\mathbf {|G_{hkl}|} ={\frac {2\pi }{d_{hkl}}}$

向量G和正晶格向量R有以下关系

$\mathbf {R} =c_{1}{\boldsymbol {a_{1}}}+c_{2}{\boldsymbol {a_{2}}}+c_{3}{\boldsymbol {a_{3}}}$

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {G\cdot R} }=1$

三维倒晶格中的晶胞体积Ω_G和正晶格的晶胞体积Ω有以下关系

$\Omega _{G}={\frac {(2\pi )^{3}}{\Omega }}$

倒晶格的物理意义

在此以一维晶格为例。在一个以${\boldsymbol {a}}$为基矢的一维晶格中，其波函数应该为布洛赫波

$\psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})$

定义其倒晶格向量

${\boldsymbol {G}}=n{\boldsymbol {b}},\ n=0,1,2,\cdots$

${\boldsymbol {b}}=2\pi {\frac {\boldsymbol {a}}{a^{2}}}$

${\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {a}}=2\pi n$

以及一个函数

${\begin{alignedat}{2}u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x+a}})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {a}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})\\&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})\\\end{alignedat}}$

由于$u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})$是一个布洛赫波包，满足

$u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})=u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})$

所以

$u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x+a}})=u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})$

也是一个布洛赫波包。则波函数有以下性质

${\begin{aligned}\psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\boldsymbol {k+G}})\cdot {\boldsymbol {x}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\boldsymbol {k+G}})\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})\\&=\psi _{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})\end{aligned}}$

可见，倒晶格向量G描述了波函数在以k为基矢的动量空间（k空间）内的周期性。其向量单位，即倒晶格的基矢${\boldsymbol {b_{i}}}$是描述k空间中平移对称性的基矢。其最小可重复单位，即倒晶格的晶胞，称为第一布里渊区。由于波矢k和动量与波函数对应的能量密切相关，在能带理论中也用来解释能带的周期性。

倒晶格与晶体衍射

晶体衍射满足布拉格定律

${\begin{alignedat}{2}2d\sin \theta =n\lambda \\2\times {\frac {2\pi }{\lambda }}\sin \theta ={\frac {2\pi }{d_{n}}}\\\end{alignedat}}$

定义入射波波矢为${\boldsymbol {k}}$，则上述公式可变换为

${\begin{array}{lcl}|{\boldsymbol {k}}|={\cfrac {2\pi }{\lambda }}\\\mathbf {|G_{hkl}|} ={\cfrac {2\pi }{d_{hkl}}}\\2|{\boldsymbol {k}}|\sin \theta =|\mathbf {G} |\\\end{array}}$

因此满足布拉格定律的晶体衍射反映的不是正晶格，而是倒晶格。

进一步将以上公式转化为向量形式，定义入射波波矢为${\boldsymbol {k_{i}}}$，反射波波矢为${\boldsymbol {k_{o}}}$，可以得到

${\boldsymbol {\Delta k}}={\boldsymbol {k_{o}}}-{\boldsymbol {k_{i}}}=\mathbf {G}$

这个形式也和劳厄方程式相符。

晶体衍射的想法也可以用来解释能带结构中，为什么能量的分布是不连续的。

常见布拉菲晶格的倒晶格

简单立方晶体

简单立方晶体的素格子基矢可以写成

${\boldsymbol {a_{1}}}=a{\hat {x}}$

${\boldsymbol {a_{2}}}=a{\hat {y}}$

${\boldsymbol {a_{3}}}=a{\hat {z}}$

体积为

${\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}=a^{3}$

可推得倒晶格的素格子基矢

${\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi \over a}{\hat {x}}$

${\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi \over a}{\hat {y}}$

${\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi \over a}{\hat {z}}$

所以简单立方晶体的倒晶格同样为简单立方晶体，但是晶格常数为 $2\pi \over a$。

面心立方晶体(FCC)

面心立方晶体的素格子基矢可以写成下列三项

${\boldsymbol {a_{1}}}={a \over 2}\left({\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

${\boldsymbol {a_{2}}}={a \over 2}\left({\hat {z}}+{\hat {x}}\right)$

${\boldsymbol {a_{3}}}={a \over 2}\left({\hat {x}}+{\hat {y}}\right)$

体积为

${\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}={a^{3} \over 4}$

可推得倒晶格之素格子基矢

${\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi \over a}\left(-{\hat {x}}+{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

${\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi \over a}\left(+{\hat {x}}-{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

${\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi \over a}\left(+{\hat {x}}+{\hat {y}}-{\hat {z}}\right)$

面心立方晶体的倒晶格为体心立方晶体。

体心立方晶体(BCC)

体心立方晶体的素格子基矢可以写成下列三项

${\boldsymbol {a_{1}}}={a \over 2}\left(-{\hat {x}}+{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

${\boldsymbol {a_{2}}}={a \over 2}\left(+{\hat {x}}-{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

${\boldsymbol {a_{3}}}={a \over 2}\left(+{\hat {x}}+{\hat {y}}-{\hat {z}}\right)$

体积为

${\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}={a^{3} \over 2}$

可推得倒晶格之素格子基矢

${\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi \over a}\left({\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

${\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi \over a}\left({\hat {z}}+{\hat {x}}\right)$

${\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi \over a}\left({\hat {x}}+{\hat {y}}\right)$

可得知体心立方晶体之倒晶格为面心立方晶体。

在布拉菲晶格中,三轴互为九十度的$({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},{\boldsymbol {a_{3}}})$ (立方, 正方, 斜方)的晶体结构,是很容易被证明其倒晶格空间之三轴$({\boldsymbol {b_{1}}},{\boldsymbol {b_{2}}},{\boldsymbol {b_{3}}})$与其真实晶格之三轴有垂直的关系.

参阅

• 晶体学
• 对偶空间
• 电子衍射
• 埃瓦尔德球（英语：Ewald's sphere）
• 密勒指数（英语：Miller index）
• 布里渊区

外部链接

• （英文）http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html （页面存档备份，存于互联网档案馆） - Jmol-based electron diffraction simulator lets you explore the intersection between reciprocal lattice and Ewald sphere during tilt.
• （英文）DoITPoMS Teaching and Learning Package on Reciprocal Space and the Reciprocal Lattice（页面存档备份，存于互联网档案馆）