倒易點陣

一個二維晶體及其倒易點陣

倒易點陣（英語：reciprocal lattice），又稱倒（易）晶格、倒（易）格子，是物理學中描述空間波函數的傅立葉變換後的周期性的一種方法。相對於正晶格所描述的實空間周期性，倒晶格描述的是動量空間，亦可認為是k空間的周期性。根據位置和動量所滿足的龐特里亞金對偶性，布拉菲晶格的倒晶格仍然是一種布拉菲晶格，而倒晶格的倒晶格就會變回原始晶格（正晶格）。

數學描述

一維晶格

對於以${\boldsymbol {a}}$為基矢的一維晶格，其倒格子的基矢為

${\boldsymbol {b}}=2\pi {\frac {\boldsymbol {a}}{a^{2}}}$

二維晶格

對於以$({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}})$為基矢的二維晶格，定義其二維平面法線向量為${\boldsymbol {n}}$，其倒格子的基矢為

${\boldsymbol {b_{1}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {n}}}{{\boldsymbol {a_{1}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {n}})}}$

${\boldsymbol {b_{2}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {a_{1}}}}{{\boldsymbol {a_{2}}}\cdot ({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {a_{1}}})}}$

三維晶格

對三維晶格而言，我們定義素晶胞的基矢 $({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},{\boldsymbol {a_{3}}})$，可以用下列公式決定倒晶格的晶胞基矢$({\boldsymbol {b_{1}}},{\boldsymbol {b_{2}}},{\boldsymbol {b_{3}}})$

${\boldsymbol {b_{1}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}}{{\boldsymbol {a_{1}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}})}}$

${\boldsymbol {b_{2}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{3}}}\times {\boldsymbol {a_{1}}}}{{\boldsymbol {a_{2}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{3}}}\times {\boldsymbol {a_{1}}})}}$

${\boldsymbol {b_{3}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}}}{{\boldsymbol {a_{3}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}})}}$

倒晶格與正晶格的關係

倒晶格與正晶格的基矢滿足以下關係

${\boldsymbol {a_{i}}}\cdot {\boldsymbol {b_{j}}}=2\pi \delta _{ij}={\begin{cases}2\pi ,&i\ =\ j\\0,&i\ \neq \ j\end{cases}}$

定義三維中的倒晶格向量G

$\mathbf {G} =h{\boldsymbol {b_{1}}}+k{\boldsymbol {b_{2}}}+l{\boldsymbol {b_{3}}}$

其中(h,k,l)為密勒指數，向量G的模長與正晶格的晶面間距有以下關係

$\mathbf {|G_{hkl}|} ={\frac {2\pi }{d_{hkl}}}$

向量G和正晶格向量R有以下關係

$\mathbf {R} =c_{1}{\boldsymbol {a_{1}}}+c_{2}{\boldsymbol {a_{2}}}+c_{3}{\boldsymbol {a_{3}}}$

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {G\cdot R} }=1$

三維倒晶格中的晶胞體積Ω_G和正晶格的晶胞體積Ω有以下關係

$\Omega _{G}={\frac {(2\pi )^{3}}{\Omega }}$

倒晶格的物理意義

在此以一維晶格為例。在一個以${\boldsymbol {a}}$為基矢的一維晶格中，其波函數應該為布洛赫波

$\psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})$

定義其倒晶格向量

${\boldsymbol {G}}=n{\boldsymbol {b}},\ n=0,1,2,\cdots$

${\boldsymbol {b}}=2\pi {\frac {\boldsymbol {a}}{a^{2}}}$

${\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {a}}=2\pi n$

以及一個函數

${\begin{alignedat}{2}u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x+a}})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {a}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})\\&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})\\\end{alignedat}}$

由於$u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})$是一個布洛赫波包，滿足

$u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})=u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})$

所以

$u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x+a}})=u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})$

也是一個布洛赫波包。則波函數有以下性質

${\begin{aligned}\psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\boldsymbol {k+G}})\cdot {\boldsymbol {x}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\boldsymbol {k+G}})\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})\\&=\psi _{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})\end{aligned}}$

可見，倒晶格向量G描述了波函數在以k為基矢的動量空間（k空間）內的周期性。其向量單位，即倒晶格的基矢${\boldsymbol {b_{i}}}$是描述k空間中平移對稱性的基矢。其最小可重複單位，即倒晶格的晶胞，稱為第一布里淵區。由於波矢k和動量與波函數對應的能量密切相關，在能帶理論中也用來解釋能帶的周期性。

倒晶格與晶體繞射

晶體繞射滿足布拉格定律

${\begin{alignedat}{2}2d\sin \theta =n\lambda \\2\times {\frac {2\pi }{\lambda }}\sin \theta ={\frac {2\pi }{d_{n}}}\\\end{alignedat}}$

定義入射波波矢為${\boldsymbol {k}}$，則上述公式可變換為

${\begin{array}{lcl}|{\boldsymbol {k}}|={\cfrac {2\pi }{\lambda }}\\\mathbf {|G_{hkl}|} ={\cfrac {2\pi }{d_{hkl}}}\\2|{\boldsymbol {k}}|\sin \theta =|\mathbf {G} |\\\end{array}}$

因此滿足布拉格定律的晶體繞射反映的不是正晶格，而是倒晶格。

進一步將以上公式轉化為向量形式，定義入射波波矢為${\boldsymbol {k_{i}}}$，反射波波矢為${\boldsymbol {k_{o}}}$，可以得到

${\boldsymbol {\Delta k}}={\boldsymbol {k_{o}}}-{\boldsymbol {k_{i}}}=\mathbf {G}$

這個形式也和勞厄方程式相符。

晶體繞射的想法也可以用來解釋能帶結構中，為什麼能量的分佈是不連續的。

常見布拉菲晶格的倒晶格

簡單立方晶體

簡單立方晶體的素格子基矢可以寫成

${\boldsymbol {a_{1}}}=a{\hat {x}}$

${\boldsymbol {a_{2}}}=a{\hat {y}}$

${\boldsymbol {a_{3}}}=a{\hat {z}}$

體積為

${\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}=a^{3}$

可推得倒晶格的素格子基矢

${\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi \over a}{\hat {x}}$

${\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi \over a}{\hat {y}}$

${\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi \over a}{\hat {z}}$

所以簡單立方晶體的倒晶格同樣為簡單立方晶體，但是晶格常數為 $2\pi \over a$。

面心立方晶體(FCC)

面心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

${\boldsymbol {a_{1}}}={a \over 2}\left({\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

${\boldsymbol {a_{2}}}={a \over 2}\left({\hat {z}}+{\hat {x}}\right)$

${\boldsymbol {a_{3}}}={a \over 2}\left({\hat {x}}+{\hat {y}}\right)$

體積為

${\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}={a^{3} \over 4}$

可推得倒晶格之素格子基矢

${\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi \over a}\left(-{\hat {x}}+{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

${\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi \over a}\left(+{\hat {x}}-{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

${\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi \over a}\left(+{\hat {x}}+{\hat {y}}-{\hat {z}}\right)$

面心立方晶體的倒晶格為體心立方晶體。

體心立方晶體(BCC)

體心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

${\boldsymbol {a_{1}}}={a \over 2}\left(-{\hat {x}}+{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

${\boldsymbol {a_{2}}}={a \over 2}\left(+{\hat {x}}-{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

${\boldsymbol {a_{3}}}={a \over 2}\left(+{\hat {x}}+{\hat {y}}-{\hat {z}}\right)$

體積為

${\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}={a^{3} \over 2}$

可推得倒晶格之素格子基矢

${\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi \over a}\left({\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

${\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi \over a}\left({\hat {z}}+{\hat {x}}\right)$

${\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi \over a}\left({\hat {x}}+{\hat {y}}\right)$

可得知體心立方晶體之倒晶格為面心立方晶體。

在布拉菲晶格中,三軸互為九十度的$({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},{\boldsymbol {a_{3}}})$ (立方, 正方, 斜方)的晶體結構,是很容易被證明其倒晶格空間之三軸$({\boldsymbol {b_{1}}},{\boldsymbol {b_{2}}},{\boldsymbol {b_{3}}})$與其真實晶格之三軸有垂直的關係.

參閱

• 晶體學
• 對偶空間
• 電子繞射
• 埃瓦爾德球（英語：Ewald's sphere）
• 密勒指數（英語：Miller index）
• 布里淵區

外部連結

• （英文）http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） - Jmol-based electron diffraction simulator lets you explore the intersection between reciprocal lattice and Ewald sphere during tilt.
• （英文）DoITPoMS Teaching and Learning Package on Reciprocal Space and the Reciprocal Lattice（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）