在數學中,
階特殊酉群(英語:special unitary group),記作
,是行列式為 1 的
酉矩陣組成的群(一般酉矩陣的行列式是絕對值為1的複數)。群運算是矩陣乘法。特殊酉群是由
酉矩陣組成的酉群
的一個子群,酉群又是一般線性群
) 的一個子群。
群
在粒子物理中標準模型中有廣泛的應用,特別是
在電弱相互作用與
在量子色動力學中。
最簡單的情形
,是平凡群,只有一個元素。群
同構於範數為
的四元數,從而微分同胚於三維球面。因為單位四元數可表示三維空間中的旋轉(差一個符號),我們有一個滿同態從
到旋轉群
,其核為
。
特殊酉群 SU(n) 是一個 n2-1 維實矩陣李群。在拓撲上是緊及單連通的。在代數上,它是一個單李群(意為它的李代數是單的,見下)。SU(n) 的中心同構於循環群 Zn。當 n ≥ 3,它的外自同構群是 Z2,而 SU(2) 的外自同構群是平凡群。
SU(n) 代數由 n2 個算子生成,滿足交換關係(對 i, j, k, l = 1, 2, ..., n):
![{\displaystyle \left[{\hat {O}}_{ij},{\hat {O}}_{kl}\right]=\delta _{jk}{\hat {O}}_{il}-\delta _{il}{\hat {O}}_{kj}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b3972119ca512c9282df7b07ca7bebacaa6f0d)
另外,算子
![{\displaystyle {\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {O}}_{ii}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8763a3095183d182f6e2e898e62dec8ee27b7f)
滿足
![{\displaystyle \left[{\hat {N}},{\hat {O}}_{ij}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f69cc61b479641df321e9e8e61a94ae9f3381c0)
這意味着 SU(n) 獨立的生成元個數是 n2-1[1]。
生成元[編輯]
一般地,SU(n) 的無窮小生成元(infinitesimal generator) T,由一個無跡埃爾米特矩陣表示。即
![{\displaystyle \operatorname {tr} (T_{a})=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f326801d54cacdddbe60aeeca567bdaa9e5eca8)
以及
![{\displaystyle T_{a}=T_{a}^{\dagger }.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b4e2d6c1081e70c9c1b0a57c413525346e7995)
基本表示[編輯]
在定義或基本表示中,由
矩陣表示的生成元是:
![{\displaystyle T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{(if_{abc}+d_{abc})T_{c}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/432ea91e6d7107c652b7a2f5029244fc68f1406c)
- 這裡係數
是結構常數,它對所有指標都是反對稱的,而係數
對所有指標都是對稱的。
從而
![{\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]_{+}={\frac {1}{n}}\delta _{ab}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad19fbadc0096219aa5041eeb9074090dd7be88a)
![{\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]_{-}=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{f_{abc}T_{c}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2890e1dce2ccedfc8555d39de58da93a6a3a5865)
我們也有
![{\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f25553b73591498ad9f2546950880c257f47942)
作為一個正規化約定。
伴隨表示[編輯]
在伴隨表示中,生成元表示由
矩陣表示,其元素由結構常數定義:
![{\displaystyle (T_{a})_{jk}=-if_{ajk}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09d41bddc2fa771f94ebf2157835c344c8acb98)
SU(2)[編輯]
一個一般矩陣元素形如
![{\displaystyle U={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9c662c70e91a247cbe7a4a1b6d5b2cebaa8d2b)
這裡
使得
。我們考慮如下映射
,(這裡
表示 2×2 復矩陣集合),定義為
![{\displaystyle \varphi (\alpha ,\beta )={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3700d7f59c9ff5aad30a89053540fee19ace0f)
考慮到
微分同胚於
和
同胚於
,我們可看到
是一個實線性單射,從而是一個嵌入。現在考慮
限制在三維球面上,記作
,我們可發現這是三維球面到
的一個緊子流形的一個嵌入。但顯然有
,作為一個流形微分同胚於
,使
成為一個緊連通李群。
現在考慮李代數
,一個一般元素形如
![{\displaystyle U'={\begin{pmatrix}ix&-{\overline {\beta }}\\\beta &-ix\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56be4d835f93b3c035d544d9a5be6286baa0603a)
這裡
以及
。易驗證這樣形式的矩陣的跡是零並為反埃爾米特的。從而李代數由如下矩陣生成
![{\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219d26aa1af9f27a9584807ddb0d263a05a752e3)
易見它具有上面提到的一般元素的形式。它們滿足關係
和
。從而交換子括號由
![{\displaystyle [u_{1},u_{3}]=2u_{2},\qquad [u_{2},u_{1}]=2u_{3},\qquad [u_{3},u_{2}]=2u_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1345d70a29d23b99ece19227b2c0e182a15ac961)
確定。上述生成元與泡利矩陣有關,
,
及
。
SU(3)[編輯]
SU(3) 的生成元 T,在定義表示中為
![{\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{\sqrt {2}}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ab8e6360ff7cfd52b5b6706af2cf6ed99c8d5a)
這裡
為蓋爾曼矩陣,是 SU(2) 泡利矩陣在 SU(3) 之類比:
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|
|
注意它們都是無跡埃爾米特矩陣。
它們服從關係
![{\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ea9c89886a023dbf0bbfd47539250782f4ad5c)
- 這裡 f 是結構常數,如上所定義,它們的值為
![{\displaystyle f^{123}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c80cf8fc4e5c16e64ee92e4ecc54ff1929488e5)
![{\displaystyle f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3e3042b502b47e1e03d6f6f043babe544573f8)
![{\displaystyle f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6623d46f59ff4aa5cff68f55ce5c4070435051ef)
d 的取值:
![{\displaystyle d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406e66ab27f256d0faae5156f9162d7e7387f68e)
![{\displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f3f43485fece796f61bd4cf53adaba4fea1c36)
![{\displaystyle d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18f7444a225deb9f328f3422a6bfa020e6339c1)
李代數[編輯]
對應的李代數記作
。它的標準數學表示由無跡反埃爾米特
復矩陣組成,以通常交換子為李括號。粒子物理學家通常增加一個因子
,從而所有矩陣成為埃爾米特的。這只不過是同一個實李代數一個不同的更方便的表示。注意
是
上一個李代數。
例如,下列量子力學中使用的矩陣組成
在
上的一組基:
![{\displaystyle i\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265fc08f56e566eeb9e2303cb7e39f428cf5838b)
![{\displaystyle i\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80726809cadc03298879b63d37fb8985fa240823)
![{\displaystyle i\sigma _{z}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba24aa0899e8c9ed6146e70395ac06293a786a6c)
(這裡
是虛數單位。)
這個表示經常用於量子力學(參見泡利矩陣以及蓋爾曼矩陣)表示基本粒子比如電子的自旋。它們也作為我們三維空間量子相對論描述中的單位向量。
注意任意兩個不同生成元的乘積是另一個生成元,以及生成元反交換。與單位矩陣(乘以
)一起
![{\displaystyle iI_{2}={\begin{bmatrix}i&0\\0&i\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627337235e1d678f5be443b70a81818a738004b5)
它們也是
的生成元。
當然這裡它取決於我們最終處理的問題,比如在非相對論量子力學中為 2-旋量;或在相對論狄拉克理論中,我們需要到 4-旋量的一個擴張;或在數學中甚至是克利福德代數。
註:在矩陣乘法下(在此情形是反交換的),生成克利福德代數
,而在交換子括號下生成李代數
。
回到一般的
:
如果我們選擇(任意)一個特定的基,則純虛數無跡對角
矩陣子空間組成一個
維嘉當子代數。
將這個李代數復化,從而現在允許任何無跡
矩陣。權本徵向量是嘉當子代數自己,只有一個非零元素的矩陣不是對角的。儘管嘉當子代數
只是
維,但為了化簡計算,經常引入一個輔助元素,與所有元素交換的單位矩陣(它不能視為這個李代數的一個元素)。故我們有一個基,其中第
個基向量是在第
個對角元素為
而在其它處為零的矩陣。則權由
個坐標給出,而且在所有
個坐標求和為零(因為單位矩陣只是輔助的)。
故
的秩是
,它的鄧肯圖由
給出,有
個頂點的鏈。
它的根系由
個根組成,生成一個
歐幾里得空間。這裡,我們使用
冗餘坐標而不是
坐標來強調根系的對稱(
坐標之和為零)。換句話說,我們是將這個
維向量空間嵌入
-維中。則根由所有
置換
。兩段以前的構造解釋了為什麼。單根的一個選取為
,
,
- …,
.
它的嘉當矩陣是
.
它的外爾群或考克斯特群是對稱群
,
-單形的對稱群。
廣義特殊酉群[編輯]
對一個域 F,F 上廣義特殊酉群 SU(p,q;F),F 上一個秩為 n=p+q 的向量空間上使得一個符號為 (p,q) 的非退化埃爾米特形式不變的所有行列式為 1 線性變換組成的群。這個么正群經常稱為 F 上符號為 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以換為一個交換環,在這種情形向量空間換為自由模。
特別地,固定 GL(n,R) 中一個符號為 (p,q) 的埃爾米特矩陣,則所有
![{\displaystyle M\in SU(p,q,R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb4925e1042b32f6f6bc098a55d85d5ffbebb0b)
滿足
![{\displaystyle M^{*}AM=A\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50121dd67aa5efabfa0684ae69153ad5fc09b587)
![{\displaystyle \det M=1.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806051cf67c9625cdf2bcb03dce2ceba955b7496)
經常可以見到記號
略去環或域,在這種形式環或域是指 C,這給出一個典型李群。當 F=C 時,A 的標準選取是
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b140c4a3cd4958fc60e5aa21f8232f186b308a)
對某些維數 A 可能有更好的選擇,當限制為 C 的一個子環時有更好表現。
這類群的一個重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i]),(射影地)作用在二度復雙曲空間上,同樣地 SL(2,Z) (射影地)作用在二維實雙曲空間上。2003年,Gábor Francsics 與彼得·拉克斯算出了這個群在
上作用的基本域,參見 [1]。
另一個例子是 SU(1,1;C),同構於 SL(2,R)。
重要子群[編輯]
在物理學中,特殊酉群用於表示波色對稱。在對稱性破缺理論中尋找特殊酉群的子群很重要。在大一統理論中 SU(n) 重要的子群是,對 p>1,n-p>1:
![{\displaystyle SU(n)\supset SU(p)\times SU(n-p)\times U(1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6384954bc38dfb547c9bf427ba3dde247aed0e5)
為了完整性,還有正交與辛子群:
![{\displaystyle SU(n)\supset O(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799b9fec594329c9d235d241a9669693a8bd2023)
![{\displaystyle SU(2n)\supset USp(2n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c412d92d8067646042fc0435c7c31c898cfbe26)
因為 SU(n) 的秩是 n-1,U(1) 是 1,一個有用的檢驗是看子群的秩是小於還是等於原來群的秩。SU(n) 是多個其它李群的子群:
![{\displaystyle SO(2n)\supset SU(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0457b7c50c7a6ef0341968936af01229c245ef7)
![{\displaystyle USp(2n)\supset SU(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb18aa0d0af158c0c39755b2b28da38c2a7f064)
(參見自旋群)
![{\displaystyle E_{6}\supset SU(6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be560ed1b6b9e8da745ffe5288968638e9c0de1f)
![{\displaystyle E_{7}\supset SU(8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035f814a41dee3d29061c50abee273e94b865bec)
(關於 E6, E7 與 G2 參見單李群)。
有同構 SU(4)=Spin(6),SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。
最後值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆疊群,這個關係在非相對論量子力學 2-旋量的旋轉中起着重要的作用。
相關條目[編輯]
- ^ R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer, 2001.
參考文獻[編輯]
外部連結[編輯]