矩陣分析

矩陣分析（英語：matrix analysis）是一門研究矩陣及其代數性質的學科。這門學科研究的內容包括矩陣的運算（加法、矩陣乘法等）、矩陣函數、矩陣的特徵值（特徵值分解）等。

矩陣空間[編輯]

數域 F 下的所有 m×n 矩陣構成向量空間 M_mn(F)。數域 F 包括有理數ℚ、實數ℝ、複數ℂ等。當 $m\neq p$ 或 $n\neq q$ 時，空間 M_mn(F) 和 M_pq(F) 不一致，例如 M₃₂(F) ≠ M₂₃(F)。

兩個 m×n 的矩陣 A 和 B 在空間 M_mn(F) 相加可以得到空間 M_mn(F) 下的一個新矩陣：

\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in M_{mn}(F)\,,\quad \mathbf {A} +\mathbf {B} \in M_{mn}(F)

與數域 F 中的數 α 相乘，也可以得到空間 M_mn(F) 下的矩陣：

\alpha \in F\,,\quad \alpha \mathbf {A} \in M_{mn}(F)

以上兩條性質可以總結為：在矩陣空間 M_mn(F) 下的兩個矩陣 A 和 B 線性組合可以得到空間 M_mn(F) 下的一個新矩陣：

\alpha \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \in M_{mn}(F)

其中 α 和 β 是數域 F 中的數。

所有矩陣都可以表示為基矩陣的線性組合，這些基矩陣起到類似於基向量的作用。例如，對於實數域下的 2×2 矩陣空間 M₂₂(ℝ)，一組可行的基矩陣可以是：

{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,

因為所有的 2×2 矩陣均可以表示為：

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,

其中 a, b, c,d 均為實數。這個思路也可以推廣到高維矩陣空間下。

行列式是方陣的重要性質之一，它可以指示一個矩陣是否可逆。矩陣的行列式被用於計算特徵值、求解線性方程組等方面。

一個 $n\times n$ 矩陣的特徵值 $x$ 和特徵向量 $\lambda$ 定義為：

$Ax=\lambda x$

也就是說，一個矩陣乘以它的特徵向量相當於它的特徵值乘以特徵向量。一個 $n\times n$ 的矩陣有 n 個特徵值，它們是矩陣特徵多項式的根：

$p_{\mathbf {A} }(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0$

其中 $\mathbf {I}$ 為 $n\times n$ 的單位矩陣。

如果兩個 $n\times n$ 的矩陣 $A$ 和 $B$ 可以用相似變換聯繫起來，則兩個矩陣相似：

$\mathbf {B=PAP} ^{-1}$

可逆矩陣 $\mathbf {P}$ 被稱為相似變換矩陣。