矩陣分析(英語:matrix analysis) 是一門研究矩陣及其代數性質的學科。這門學科研究的內容包括矩陣的運算(加法、矩陣乘法等)、矩陣函數、矩陣的特徵值(特徵值分解)等。
矩陣空間[編輯]
數域 F 下的所有 m×n 矩陣構成向量空間 Mmn(F)。數域 F 包括有理數ℚ、實數ℝ、複數ℂ等。當
或
時,空間 Mmn(F) 和 Mpq(F) 不一致,例如 M32(F) ≠ M23(F)。
兩個 m×n 的矩陣 A 和 B 在空間 Mmn(F) 相加可以得到空間 Mmn(F) 下的一個新矩陣:
![{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \in M_{mn}(F)\,,\quad \mathbf {A} +\mathbf {B} \in M_{mn}(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b748c07314d437954a7a35351ec7ef2e8eabdf)
與數域 F 中的數 α 相乘,也可以得到空間 Mmn(F) 下的矩陣:
![{\displaystyle \alpha \in F\,,\quad \alpha \mathbf {A} \in M_{mn}(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a708240c421e410ca2a9b37808f672f3e422310)
以上兩條性質可以總結為:在矩陣空間 Mmn(F) 下的兩個矩陣 A 和 B 線性組合可以得到空間 Mmn(F) 下的一個新矩陣:
![{\displaystyle \alpha \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \in M_{mn}(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f5ee923dab86a9757efb488815ea62d4a6a5f6)
其中 α 和 β 是數域 F 中的數。
所有矩陣都可以表示為基矩陣的線性組合,這些基矩陣起到類似於基向量的作用。例如,對於實數域下的 2×2 矩陣空間 M22(ℝ),一組可行的基矩陣可以是:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2970980de46dea1440d78e87300324b422e7f653)
因為所有的 2×2 矩陣均可以表示為:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b10a0e3cb60c148ae5eb4b1bd2741c298c63ec)
其中 a, b, c,d 均為實數。這個思路也可以推廣到高維矩陣空間下。
行列式[編輯]
行列式是方陣的重要性質之一,它可以指示一個矩陣是否可逆。矩陣的行列式被用於計算特徵值、求解線性方程組等方面。
矩陣的特徵值和特徵向量[編輯]
一個
矩陣的特徵值
和特徵向量
定義為:
也就是說,一個矩陣乘以它的特徵向量相當於它的特徵值乘以特徵向量。一個
的矩陣有 n 個特徵值,它們是矩陣特徵多項式的根:
其中
為
的單位矩陣。
相似矩陣[編輯]
如果兩個
的矩陣
和
可以用相似變換聯繫起來,則兩個矩陣相似:
可逆矩陣
被稱為相似變換矩陣。
酉相似[編輯]