辛矩陣

在數學中，扭對稱矩陣是指一個$2n\times 2n$的矩陣M（通常佈於實數或複數域上），使之滿足

$M^{T}\Omega M=\Omega \,$。

其中$M^{T}$表$M$的轉置矩陣，而$\Omega$是一個固定的可逆斜對稱矩陣；這類矩陣在適當的變化後皆能表為

$\Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}$

或

$\Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

兩者的差異僅在於基的置換，其中$I_{n}$是$n\times n$ 單位矩陣。此外，$\Omega$ 行列式值等於一，且其逆矩陣等於$-\Omega$。

性質

凡扭對稱矩陣皆可逆，其逆矩陣可表為

$M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{T}\Omega$

其中，反對稱矩陣$\Omega$具有如下運算性質：

$\Omega ^{T}=-\Omega =\Omega ^{-1}\,\!$ ,

$\Omega ^{T}\Omega =\Omega \Omega ^{T}=I_{2n}\,\!$ ,

$\Omega \Omega =-I_{2n}\,\!$ ,

$det(\Omega )=1\,\!$ 。

此外，扭對稱矩陣構成的集合在矩陣乘法下封閉，因此一個域$F$上的所有$2n$階扭對稱矩陣構成一個群，記為$\mathrm {Sp} (2n,F)$。事實上它是$\mathrm {GL} (2n,F)$的閉代數子群，其維度為$n(2n+1)$。當$F=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$時，$\mathrm {Sp} (2n,F)$帶有自然的（複）李群結構。

由定義可知扭對稱矩陣的行列式等於$\pm 1$；事實上，可以利用普法夫值的公式：

${\mbox{Pf}}(M^{T}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega )$。

由於$M^{T}\Omega M=\Omega$、${\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0$，遂導出$det(M)=1$。

當$n=1$時，有$\mathrm {Sp} (2)=\mathrm {SL} (2)$。換言之：二階扭對稱矩陣即行列式等於一的二階矩陣。

扭對稱變換

在線性代數的抽象框架裡，我們可以用偶數維向量空間$V$上的線性變換取代偶數階矩陣，並固定一個非退化反對稱雙線性形$\omega :V\times V\to F$以取代矩陣$\Omega$（賦有這類雙線性形的空間稱為扭對稱向量空間），如此便得到與基底無關的定義：

定義。一個扭對稱向量空間$(V,\omega )$上的線性變換$L:V\to V$若滿足

$\omega (Lu,Lv)=\omega (u,v)$。

則稱$L$為扭對稱變換。

考慮$\eta :=\wedge ^{\frac {\dim V}{2}}\omega$，由於$L^{*}(\omega )=\omega$，故$L^{*}(\eta )=\eta$；另一方面，$L^{*}(\eta )=(\det L)\cdot \eta$，於是得到$\det L=1$。由此導出扭對稱變換之行列式值等於一。

固定$V$的一組基，藉此將$L$寫成矩陣$M$，並將$\omega$表成斜對稱矩陣$\Omega$，便回到先前的定義：

$M^{T}\Omega M=\Omega$。

相關條目

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• 哈密頓力學
• 正則變換

外部連結

• Symplectic matrix. PlanetMath. 
• The characteristic polynomial of a symplectic matrix is a reciprocal polynomial. PlanetMath.