辛矩阵

在数学中，扭对称矩阵是指一个$2n\times 2n$的矩阵M（通常布于实数或复数域上），使之满足

$M^{T}\Omega M=\Omega \,$。

其中$M^{T}$表$M$的转置矩阵，而$\Omega$是一个固定的可逆斜对称矩阵；这类矩阵在适当的变化后皆能表为

$\Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}$

或

$\Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

两者的差异仅在于基的置换，其中$I_{n}$是$n\times n$ 单位矩阵。此外，$\Omega$ 行列式值等于一，且其逆矩阵等于$-\Omega$。

性质

凡扭对称矩阵皆可逆，其逆矩阵可表为

$M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{T}\Omega$

其中，反对称矩阵$\Omega$具有如下运算性质：

$\Omega ^{T}=-\Omega =\Omega ^{-1}\,\!$ ,

$\Omega ^{T}\Omega =\Omega \Omega ^{T}=I_{2n}\,\!$ ,

$\Omega \Omega =-I_{2n}\,\!$ ,

$det(\Omega )=1\,\!$ 。

此外，扭对称矩阵构成的集合在矩阵乘法下封闭，因此一个域$F$上的所有$2n$阶扭对称矩阵构成一个群，记为$\mathrm {Sp} (2n,F)$。事实上它是$\mathrm {GL} (2n,F)$的闭代数子群，其维度为$n(2n+1)$。当$F=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$时，$\mathrm {Sp} (2n,F)$带有自然的（复）李群结构。

由定义可知扭对称矩阵的行列式等于$\pm 1$；事实上，可以利用普法夫值的公式：

${\mbox{Pf}}(M^{T}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega )$。

由于$M^{T}\Omega M=\Omega$、${\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0$，遂导出$det(M)=1$。

当$n=1$时，有$\mathrm {Sp} (2)=\mathrm {SL} (2)$。换言之：二阶扭对称矩阵即行列式等于一的二阶矩阵。

扭对称变换

在线性代数的抽象框架里，我们可以用偶数维向量空间$V$上的线性变换取代偶数阶矩阵，并固定一个非退化反对称双线性形$\omega :V\times V\to F$以取代矩阵$\Omega$（赋有这类双线性形的空间称为扭对称向量空间），如此便得到与基底无关的定义：

定义。一个扭对称向量空间$(V,\omega )$上的线性变换$L:V\to V$若满足

$\omega (Lu,Lv)=\omega (u,v)$。

则称$L$为扭对称变换。

考虑$\eta :=\wedge ^{\frac {\dim V}{2}}\omega$，由于$L^{*}(\omega )=\omega$，故$L^{*}(\eta )=\eta$；另一方面，$L^{*}(\eta )=(\det L)\cdot \eta$，于是得到$\det L=1$。由此导出扭对称变换之行列式值等于一。

固定$V$的一组基，借此将$L$写成矩阵$M$，并将$\omega$表成斜对称矩阵$\Omega$，便回到先前的定义：

$M^{T}\Omega M=\Omega$。

相关条目

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外部链接

• Symplectic matrix. PlanetMath. 
• The characteristic polynomial of a symplectic matrix is a reciprocal polynomial. PlanetMath.