布雷森漢姆直線演算法

布雷森漢姆直線演算法（英語：Bresenham's line algorithm）是用來描繪由兩點所決定的直線的演算法，它會算出一條線段在n維點陣圖上最接近的點。這個演算法只會用到較為快速的整數加法、減法和位元移位，常用於繪製電腦畫面中的直線。是計算機圖形學中最先發展出來的演算法。

經過少量的延伸之後，原本用來畫直線的演算法也可用來畫圓。且同樣可用較簡單的算術運算來完成，避免了計算二次方程式或三角函數，或遞歸地分解為較簡單的步驟。

以上特性使其仍是一種重要的演算法，並且用在繪圖儀、繪圖卡中的繪圖晶片，以及各種圖形程式庫。這個演算法非常的精簡，使它被實作於各種裝置的韌體，以及繪圖晶片的硬件之中。

「Bresenham」至今仍經常作為一整個演算法家族的名稱，即使家族中絕大部份演算法的實際開發者是其他人。該家族的演算法繼承了Bresenham的基本方法並加以發展，詳見參考資料。

演算方法

假設我們需要由(x₀, y₀)這一點，繪畫一直線至右下角的另一點(x₁, y₁)，x,y分別代表其水平及垂直坐標，並且x₁ - x₀ > y₁ - y₀。在此我們使用電腦系統常用的坐標系，即x坐標值沿x軸向右增長，y坐標值沿y軸向下增長。

因此x及y之值分別向右及向下增加，而兩點之水平距離為 $x_{1}-x_{0}$ 且垂直距離為 $y_{1}-y_{0}$ 。由此得之，該線的斜率必定介乎於0至1之間。而此算法之目的，就是找出在 $x_{0}$ 與 $x_{1}$ 之間，第x行相對應的第y列，從而得出一像素點，使得該像素點的位置最接近原本的線。

對於由(x₀, y₀)及(x₁, y₁)兩點所組成之直線，公式如下：

y-y_{0}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0})

因此，對於每一點的x，其y的值是

{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0})+y_{0}

因為x及y皆為整數，但並非每一點x所對應的y皆為整數，故此沒有必要去計算每一點x所對應之y值。反之由於此線之斜率介乎於1至0之間，故此我們只需要找出當x到達那一個數值時，會使y上升1，若x尚未到此值，則y不變。至於如何找出相關的x值，則需依靠斜率。斜率之計算方法為 $m=(y_{1}-y_{0})/(x_{1}-x_{0})$ 。由於此值不變，故可於運算前預先計算，減少運算次數。

要實行此算法，我們需計算每一像素點與該線之間的誤差。於上述例子中，誤差應為每一點x中，其相對的像素點之y值與該線實際之y值的差距。每當x的值增加1，誤差的值就會增加m。每當誤差的值超出0.5，線就會比較靠近下一個映像點，因此y的值便會加1，且誤差減1。

下列偽代碼是這算法的簡單表達（其中的plot(x,y)繪畫該點，abs返回的是絕對值）。雖然用了代價較高的浮點運算，但很容易就可以改用整數運算（詳見最佳化一節）：

 function line(x0, x1, y0, y1)
     int deltax := x1 - x0
     int deltay := y1 - y0
     real error := 0
     real deltaerr := deltay / deltax    // 假設deltax != 0（非垂直線），
           // 注意：需保留除法運算結果的小數部份
     int y := y0
     for x from x0 to x1
         plot(x,y)
         error := error + deltaerr
         if abs (error) ≥ 0.5 then
             y := y + 1
             error := error - 1.0

一般化

雖然以上的演算法只能繪畫由左下至右上，且斜率小於或等於1的直線，但我們可以擴展此演算法，使之可繪畫任何的直線。第一個擴展是繪畫反方向，即由右上至左下的直線。這可以簡單地透過在x0 > x1時交換起點和終點來做到。第二個擴展是繪畫斜率為負的直線，可以檢查y₀ < y₁是否成立；若該不等式成立，誤差超出0.5時y的值改為加-1。最後，我們還需要擴展該演算法，使之可以繪畫斜率絕對值大於1的直線。要做到這點，我們可以利用大斜率直線對直線y=x的反射是一條小斜率直線的事實，在整個計算過程中交換 x 和 y，並一併將plot的參數順序交換。擴展後的偽代碼如下：

 function line(x0, x1, y0, y1)
     boolean steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
     if steep then
         swap(x0, y0)
         swap(x1, y1)
     if x0 > x1 then
         swap(x0, x1)
         swap(y0, y1)
     int deltax := x1 - x0
     int deltay := abs(y1 - y0)
     real error := 0
     real deltaerr := deltay / deltax
     int ystep
     int y := y0
     if y0 < y1 then ystep := 1 else ystep := -1
     for x from x0 to x1
         if steep then plot(y,x) else plot(x,y)
         error := error + deltaerr
         if error ≥ 0.5 then
             y := y + ystep
             error := error - 1.0

以上的程序可以處理任何的直線，實現了完整的Bresenham直線演算法。

最佳化

以上的程序有一個問題：電腦處理浮點運算的速度比較慢，而error與deltaerr的計算是浮點運算。此外，error的值經過多次浮點數加法之後，可能有累積誤差。使用整數運算可令演算法更快、更準確。只要將所有以上的分數數值乘以deltax，我們就可以用整數來表示它們。唯一的問題是程序中的常數0.5—我們可以透過改變error的初始方法，以及將error的計算由遞增改為遞減來解決。新的程序如下：

xk * deltaerr >= 0.5;

xk * deltay/deltax >= 0.5;

deltax/2 - xk*deltay <= 0;

 function line(x0, x1, y0, y1)
     boolean steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
     if steep then
         swap(x0, y0)
         swap(x1, y1)
     if x0 > x1 then
         swap(x0, x1)
         swap(y0, y1)
     int deltax := x1 - x0
     int deltay := abs(y1 - y0)
     int error := deltax / 2
     int ystep
     int y := y0
     if y0 < y1 then ystep := 1 else ystep := -1
     for x from x0 to x1
         if steep then plot(y,x) else plot(x,y)
         error := error - deltay
         if error < 0 then
             y := y + ystep
             error := error + deltax

歷史

Jack E. Bresenham（英語：Jack E. Bresenham）於1962年在IBM發明了此演算法。據他本人表示，他於1963年在丹佛舉行的美國計算機協會全國大會上發表了該演算法，論文則登載於1965年的《IBM系統期刊》（IBM Systems Journal）之中。^[1]Bresenham直線演算法其後被修改為能夠畫圓，修改後的演算法有時被稱為「Bresenham畫圓演算法」或中點畫圓演算法。

參考資料

"The Bresenham Line-Drawing Algorithm" （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, by Colin Flanagan

^ Paul E. Black. Dictionary of Algorithms and Data Structures, 美國國家標準與技術研究院. http://www.nist.gov/dads/HTML/bresenham.html （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參閱

Patrick-Gilles Maillot's Thesis （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） an extension of the Bresenham line drawing algorithm to perform 3D hidden lines removal; also published in MICAD '87 proceedings on CAD/CAM and Computer Graphics, page 591 - ISBN 2-86601-084-1.
數字微分分析儀演算法，描畫直線和三角形的一種簡單通用方法。
吳小林直線演算法，以同樣快速的方法繪製反鋸齒線。
中點畫圓演算法，以類似的方法繪畫圓。

外部連結

Analyze Bresenham's line algorithm in an online Javascript IDE （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
The Bresenham Line-Drawing Algorithm by Colin Flanagan （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
National Institute of Standards and Technology page on Bresenham's algorithm （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Calcomp 563 Incremental Plotter Information （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Bresenham's Original Paper （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
An implementation in Java （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at the Code Codex

[DADS-1] Paul E. Black. Dictionary of Algorithms and Data Structures, 美國國家標準與技術研究院. http://www.nist.gov/dads/HTML/bresenham.html （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[1]