布雷森汉姆直线算法

布雷森汉姆直线算法（英语：Bresenham's line algorithm）是用来描绘由两点所决定的直线的算法，它会算出一条线段在n维位图上最接近的点。这个算法只会用到较为快速的整数加法、减法和位元移位，常用于绘制电脑画面中的直线。是计算机图形学中最先发展出来的算法。

经过少量的延伸之后，原本用来画直线的算法也可用来画圆。且同样可用较简单的算术运算来完成，避免了计算二次方程式或三角函数，或递归地分解为较简单的步骤。

以上特性使其仍是一种重要的算法，并且用在绘图仪、绘图卡中的绘图芯片，以及各种图形程式库。这个算法非常的精简，使它被实作于各种装置的固件，以及绘图芯片的硬件之中。

“Bresenham”至今仍经常作为一整个算法家族的名称，即使家族中绝大部分算法的实际开发者是其他人。该家族的算法继承了Bresenham的基本方法并加以发展，详见参考资料。

演算方法

Bresenham直线算法描绘的直线。

假设我们需要由(x₀, y₀)这一点，绘画一直线至右下角的另一点(x₁, y₁)，x,y分别代表其水平及垂直坐标，并且x₁ - x₀ > y₁ - y₀。在此我们使用电脑系统常用的坐标系，即x坐标值沿x轴向右增长，y坐标值沿y轴向下增长。

因此x及y之值分别向右及向下增加，而两点之水平距离为$x_{1}-x_{0}$且垂直距离为$y_{1}-y_{0}$。由此得之，该线的斜率必定介乎于0至1之间。而此算法之目的，就是找出在$x_{0}$与$x_{1}$之间，第x行相对应的第y列，从而得出一像素点，使得该像素点的位置最接近原本的线。

对于由(x₀, y₀)及(x₁, y₁)两点所组成之直线，公式如下：

$y-y_{0}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0})$

因此，对于每一点的x，其y的值是

${\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0})+y_{0}$

因为x及y皆为整数，但并非每一点x所对应的y皆为整数，故此没有必要去计算每一点x所对应之y值。反之由于此线之斜率介乎于1至0之间，故此我们只需要找出当x到达那一个数值时，会使y上升1，若x尚未到此值，则y不变。至于如何找出相关的x值，则需依靠斜率。斜率之计算方法为$m=(y_{1}-y_{0})/(x_{1}-x_{0})$。由于此值不变，故可于运算前预先计算，减少运算次数。

要实行此算法，我们需计算每一像素点与该线之间的误差。于上述例子中，误差应为每一点x中，其相对的像素点之y值与该线实际之y值的差距。每当x的值增加1，误差的值就会增加m。每当误差的值超出0.5，线就会比较靠近下一个映像点，因此y的值便会加1，且误差减1。

下列伪代码是这算法的简单表达（其中的plot(x,y)绘画该点，abs返回的是绝对值）。虽然用了代价较高的浮点运算，但很容易就可以改用整数运算（详见最佳化一节）：

 function line(x0, x1, y0, y1)
     int deltax := x1 - x0
     int deltay := y1 - y0
     real error := 0
     real deltaerr := deltay / deltax    // 假設deltax != 0（非垂直線），
           // 注意：需保留除法運算結果的小數部份
     int y := y0
     for x from x0 to x1
         plot(x,y)
         error := error + deltaerr
         if abs (error) ≥ 0.5 then
             y := y + 1
             error := error - 1.0

一般化

虽然以上的算法只能绘画由左下至右上，且斜率小于或等于1的直线，但我们可以扩展此算法，使之可绘画任何的直线。第一个扩展是绘画反方向，即由右上至左下的直线。这可以简单地透过在x0 > x1时交换起点和终点来做到。第二个扩展是绘画斜率为负的直线，可以检查y₀ < y₁是否成立；若该不等式成立，误差超出0.5时y的值改为加-1。最后，我们还需要扩展该算法，使之可以绘画斜率绝对值大于1的直线。要做到这点，我们可以利用大斜率直线对直线y=x的反射是一条小斜率直线的事实，在整个计算过程中交换 x 和 y，并一并将plot的参数顺序交换。扩展后的伪代码如下：

 function line(x0, x1, y0, y1)
     boolean steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
     if steep then
         swap(x0, y0)
         swap(x1, y1)
     if x0 > x1 then
         swap(x0, x1)
         swap(y0, y1)
     int deltax := x1 - x0
     int deltay := abs(y1 - y0)
     real error := 0
     real deltaerr := deltay / deltax
     int ystep
     int y := y0
     if y0 < y1 then ystep := 1 else ystep := -1
     for x from x0 to x1
         if steep then plot(y,x) else plot(x,y)
         error := error + deltaerr
         if error ≥ 0.5 then
             y := y + ystep
             error := error - 1.0

以上的程序可以处理任何的直线，实现了完整的Bresenham直线算法。

最佳化

以上的程序有一个问题：电脑处理浮点运算的速度比较慢，而error与deltaerr的计算是浮点运算。此外，error的值经过多次浮点数加法之后，可能有累积误差。使用整数运算可令算法更快、更准确。只要将所有以上的分数数值乘以deltax，我们就可以用整数来表示它们。唯一的问题是程序中的常数0.5—我们可以透过改变error的初始方法，以及将error的计算由递增改为递减来解决。新的程序如下：

xk * deltaerr >= 0.5;

xk * deltay/deltax >= 0.5;

deltax/2 - xk*deltay <= 0;

 function line(x0, x1, y0, y1)
     boolean steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
     if steep then
         swap(x0, y0)
         swap(x1, y1)
     if x0 > x1 then
         swap(x0, x1)
         swap(y0, y1)
     int deltax := x1 - x0
     int deltay := abs(y1 - y0)
     int error := deltax / 2
     int ystep
     int y := y0
     if y0 < y1 then ystep := 1 else ystep := -1
     for x from x0 to x1
         if steep then plot(y,x) else plot(x,y)
         error := error - deltay
         if error < 0 then
             y := y + ystep
             error := error + deltax

历史

Jack E. Bresenham于1962年在IBM发明了此算法。据他本人表示，他于1963年在丹佛举行的美国计算机协会全国大会上发表了该算法，论文则登载于1965年的《IBM系统期刊》（IBM Systems Journal）之中。Bresenham直线算法其后被修改为能够画圆，修改后的算法有时被称为“Bresenham画圆算法”或中点画圆算法。

参考资料

• "The Bresenham Line-Drawing Algorithm" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, by Colin Flanagan

参阅

• Patrick-Gilles Maillot's Thesis （页面存档备份，存于互联网档案馆） an extension of the Bresenham line drawing algorithm to perform 3D hidden lines removal; also published in MICAD '87 proceedings on CAD/CAM and Computer Graphics, page 591 - ISBN 2-86601-084-1.
• 数字微分分析仪算法，描画直线和三角形的一种简单通用方法。
• 吴小林直线算法，以同样快速的方法绘制反锯齿线。
• 中点画圆算法，以类似的方法绘画圆。

外部链接

• Analyze Bresenham's line algorithm in an online Javascript IDE （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Bresenham Line-Drawing Algorithm by Colin Flanagan （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• National Institute of Standards and Technology page on Bresenham's algorithm （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Calcomp 563 Incremental Plotter Information （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Bresenham's Original Paper （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• An implementation in Java （页面存档备份，存于互联网档案馆） at the Code Codex