討論:歐拉猜想

要靠電腦才能找到反例?

7次冪那個式子

7次冪的式子不對吧？原式是7個7次等於某數的7次冪，也就是 N個自然數的N次冪等於另一個自然數的N次冪。不是猜想的反例。夏侯韜（留言） 2018年4月19日 (四) 09:07 (UTC)

關於歐拉猜想的反例

請問目前歐拉猜想中的下列兩個式子為什麼是該猜想的反例呢？

$127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}$

$90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}=1409^{8}$

根據條目的敘述，歐拉猜想的反例應該是「6」個正整數的7次方總和等於某正整數的7次方，然而前一個式子卻是「7」個正整數的7次方總和等於某正整數的7次方，這樣不算反例吧？後一個式子(8個正整數的8次方總和等於某正整數的8次方)也是一樣。這是為什麼呢？

其實該條目的討論頁已經有人提過這個問題了，但是沒有得到回應，所以我再來徵求一遍回應。-游蛇脫殼/克勞棣 2020年1月5日 (日) 14:56 (UTC)

• 英文維基已被掛來源請求。確定邏輯錯誤的話建議直接刪掉該條目陳述。現在就是看有沒有編者對刪除這幾式子有無異議。-- 娜娜奇🐰鮮果茶☕（宇帆·☎️·☘️） 2020年1月5日 (日) 15:01 (UTC)
• 可以參考MathWorld中歐拉猜想條目，對於歐拉猜想定義為"at least n nth powers are required for n>2 to provide a sum that is itself an nth power"，即「n>2時，至少n個n次冪之和才是一個n次冪」，此定義與L.J.Lander(1966)（推翻猜想的論文）中的定義一致。按此定義，條目中的這兩個例子仍然是符合歐拉猜想的，不能稱為反例。同時，MathWorld提到對於這個多項式：$\sum _{i=1}^{m}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}^{k}$，沒有滿足m+n<k的解，即Ekl(1998)提出的Euler's Extended Conjecture(EEC)，歐拉猜想是其中n=1時的部分特例。Ekl(1998)、更早的L.J.Lander(1967)及其他相關研究，主要是圍繞特定k時，尋找較小Δk=m+n-k的解，其中歐拉猜想的反例即是找尋滿足特殊條件Δk=0且n=1,m=k-1時的解。
• 回到條目，這兩個例子都是滿足EEC的解，但都不算歐拉猜想的反例，其中k=7的例子，需要參考來源證明其具有何種特殊意義。而k=8的例子，MathWorld條目中有列出是Δ8時的最小解。條目改善思路上，可以只保留原始的歐拉猜想定義和重要反例，如L.J.Lander(1966)。也可以參考MathWorld條目，加上EEC的相關內容，及各Δk的最小解。--Kezpe※留言 2020年1月6日 (一) 04:15 (UTC)

①所以條目目前的定義要更改嗎？（「n>2時，n-1個n次冪之和等於某數的n次冪無正整數解」→「n>2時，至少n個n次冪之和才是一個n次冪」）②有點題外話，L.J.Lander(1966)這篇論文有一個特點，使得它在不限於數學的任何領域的學術論文中都非常非常特殊，很值得推薦一看。-游蛇脫殼/克勞棣 2020年1月6日 (一) 07:42 (UTC)

①其實這兩個定義某種程度上是等價的，定義(1)「n-1個n次冪...無解」<=> 定義(2)「至少n個n次冪...才有解」。條目內的處理，我覺得最好能同時列出歐拉本人原話（可能是定義(1)），以及現在學界常用的表述方式（應該是MathWorld和L.J.Lander,1966中的定義，即定義(2)），而且最好用中文學術界常見的準確翻譯（定義(2)是我自己翻的，未必嚴謹）。②L.J.Lander(1966)這篇論文確實很經典，值得一品。--Kezpe※留言 2020年1月6日 (一) 09:48 (UTC)

①但是真的不等價，如果a⁵+b⁵+c⁵=d⁵存在正整數解，則此解不是定義(1)的反例，卻是定義(2)的反例；當然對於27⁵+84⁵+110⁵+133⁵=144⁵而言，此式同時是這兩個定義的反例。 ②是啊！絕大多數的學術論文光是摘要都比此論文全文(含參考資料)還長......-游蛇脫殼/克勞棣 2020年1月6日 (一) 13:12 (UTC)

兩種定義之間確實差了定義(3)「x個n次冪之和等於n次冪無解」（1＜x＜n-1,x=2時即費馬猜想），更嚴謹的表述應該是定義(1)+定義(3)與定義(2)等價。只是定義(3)是更籠統更龐雜的不定方程的論證，比如你提到的a⁵+b⁵+c⁵=d⁵按照MathWorld相關條目或直接參考來源論文L.J.Lander(1967)，就是沒有已知解的。所以還是需要去找到合適的來源，驗證歐拉的原表述，以及和定義(2)的關係。--Kezpe※留言 2020年1月6日 (一) 16:36 (UTC)

可惜目前在下沒有能力找到合適的來源，以驗證歐拉的原表述。我只能肯定：①依條目目前對歐拉猜想的定義，我於此討論開頭提出的兩個式子雖然等號是成立的，但卻不是此猜想的反例。 ②27⁵+84⁵+110⁵+133⁵=144⁵這式子確實證誤了此猜想，此猜想不成立。-游蛇脫殼/克勞棣 2020年1月7日 (二) 00:14 (UTC)

歐拉的原表述我也暫時沒找到來源驗證，看了下法維和日維，定義跟中維是一樣的，即定義(1)；唯獨英維，是類似定義(2)的表述。我建議在找到更好的來源，特別是中文來源之前，定義先維持現狀。猜想的證偽L.J.Lander(1966)沒有問題，是學術界認可的。討論開頭的兩個式子，可能是我上面提到的Euler's Extended Conjecture(EEC)的研究範疇，因為EEC跟歐拉猜想是高度相關的，可以考慮保留有參考來源的內容並作適當補充。我近期也會抽空幫忙改善這一條目。當然也希望有更專業的數論大佬現身提供幫助。--Kezpe※留言 2020年1月7日 (二) 05:00 (UTC)