讨论:欧拉猜想

要靠电脑才能找到反例?

7次幂那个式子

7次幂的式子不对吧？原式是7个7次等于某数的7次幂，也就是 N个自然数的N次幂等于另一个自然数的N次幂。不是猜想的反例。夏侯韬（留言） 2018年4月19日 (四) 09:07 (UTC)

关于欧拉猜想的反例

请问目前欧拉猜想中的下列两个式子为什么是该猜想的反例呢？

$127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}$

$90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}=1409^{8}$

根据条目的叙述，欧拉猜想的反例应该是“6”个正整数的7次方总和等于某正整数的7次方，然而前一个式子却是“7”个正整数的7次方总和等于某正整数的7次方，这样不算反例吧？后一个式子(8个正整数的8次方总和等于某正整数的8次方)也是一样。这是为什么呢？

其实该条目的讨论页已经有人提过这个问题了，但是没有得到回应，所以我再来征求一遍回应。-游蛇脱壳/克劳棣 2020年1月5日 (日) 14:56 (UTC)

• 英文维基已被挂来源请求。确定逻辑错误的话建议直接删掉该条目陈述。现在就是看有没有编者对删除这几式子有无异议。-- 娜娜奇🐰鲜果茶☕（宇帆·☎️·☘️） 2020年1月5日 (日) 15:01 (UTC)
• 可以参考MathWorld中欧拉猜想条目，对于欧拉猜想定义为"at least n nth powers are required for n>2 to provide a sum that is itself an nth power"，即“n>2时，至少n个n次幂之和才是一个n次幂”，此定义与L.J.Lander(1966)（推翻猜想的论文）中的定义一致。按此定义，条目中的这两个例子仍然是符合欧拉猜想的，不能称为反例。同时，MathWorld提到对于这个多项式：$\sum _{i=1}^{m}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}^{k}$，没有满足m+n<k的解，即Ekl(1998)提出的Euler's Extended Conjecture(EEC)，欧拉猜想是其中n=1时的部分特例。Ekl(1998)、更早的L.J.Lander(1967)及其他相关研究，主要是围绕特定k时，寻找较小Δk=m+n-k的解，其中欧拉猜想的反例即是找寻满足特殊条件Δk=0且n=1,m=k-1时的解。
• 回到条目，这两个例子都是满足EEC的解，但都不算欧拉猜想的反例，其中k=7的例子，需要参考来源证明其具有何种特殊意义。而k=8的例子，MathWorld条目中有列出是Δ8时的最小解。条目改善思路上，可以只保留原始的欧拉猜想定义和重要反例，如L.J.Lander(1966)。也可以参考MathWorld条目，加上EEC的相关内容，及各Δk的最小解。--Kezpe※留言 2020年1月6日 (一) 04:15 (UTC)

①所以条目目前的定义要更改吗？（“n>2时，n-1个n次幂之和等于某数的n次幂无正整数解”→“n>2时，至少n个n次幂之和才是一个n次幂”）②有点题外话，L.J.Lander(1966)这篇论文有一个特点，使得它在不限于数学的任何领域的学术论文中都非常非常特殊，很值得推荐一看。-游蛇脱壳/克劳棣 2020年1月6日 (一) 07:42 (UTC)

①其实这两个定义某种程度上是等价的，定义(1)“n-1个n次幂...无解”<=> 定义(2)“至少n个n次幂...才有解”。条目内的处理，我觉得最好能同时列出欧拉本人原话（可能是定义(1)），以及现在学界常用的表述方式（应该是MathWorld和L.J.Lander,1966中的定义，即定义(2)），而且最好用中文学术界常见的准确翻译（定义(2)是我自己翻的，未必严谨）。②L.J.Lander(1966)这篇论文确实很经典，值得一品。--Kezpe※留言 2020年1月6日 (一) 09:48 (UTC)

①但是真的不等价，如果a⁵+b⁵+c⁵=d⁵存在正整数解，则此解不是定义(1)的反例，却是定义(2)的反例；当然对于27⁵+84⁵+110⁵+133⁵=144⁵而言，此式同时是这两个定义的反例。 ②是啊！绝大多数的学术论文光是摘要都比此论文全文(含参考资料)还长......-游蛇脱壳/克劳棣 2020年1月6日 (一) 13:12 (UTC)

两种定义之间确实差了定义(3)“x个n次幂之和等于n次幂无解”（1＜x＜n-1,x=2时即费马猜想），更严谨的表述应该是定义(1)+定义(3)与定义(2)等价。只是定义(3)是更笼统更庞杂的不定方程的论证，比如你提到的a⁵+b⁵+c⁵=d⁵按照MathWorld相关条目或直接参考来源论文L.J.Lander(1967)，就是没有已知解的。所以还是需要去找到合适的来源，验证欧拉的原表述，以及和定义(2)的关系。--Kezpe※留言 2020年1月6日 (一) 16:36 (UTC)

可惜目前在下没有能力找到合适的来源，以验证欧拉的原表述。我只能肯定：①依条目目前对欧拉猜想的定义，我于此讨论开头提出的两个式子虽然等号是成立的，但却不是此猜想的反例。 ②27⁵+84⁵+110⁵+133⁵=144⁵这式子确实证误了此猜想，此猜想不成立。-游蛇脱壳/克劳棣 2020年1月7日 (二) 00:14 (UTC)

欧拉的原表述我也暂时没找到来源验证，看了下法维和日维，定义跟中维是一样的，即定义(1)；唯独英维，是类似定义(2)的表述。我建议在找到更好的来源，特别是中文来源之前，定义先维持现状。猜想的证伪L.J.Lander(1966)没有问题，是学术界认可的。讨论开头的两个式子，可能是我上面提到的Euler's Extended Conjecture(EEC)的研究范畴，因为EEC跟欧拉猜想是高度相关的，可以考虑保留有参考来源的内容并作适当补充。我近期也会抽空帮忙改善这一条目。当然也希望有更专业的数论大佬现身提供帮助。--Kezpe※留言 2020年1月7日 (二) 05:00 (UTC)