克拉梅爾猜想

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本文使用了數學技術上的對數表記。在不另外說明的狀況下，本文中所有的

\log {x}

都應視為自然對數，也就是一般常記為

\ln {x}

或

\log _{e}{x}

的對數。

數學上的克拉梅爾猜想（Cramér's conjecture）是瑞典數學家哈拉爾德·克拉梅爾在1937年提出的關於質數間隙的猜想。^[1]該猜想是說：

\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}=1

，

這裡 $p_{n}$ 代表第 $n$ 個質數。該猜想到現在仍未證出或被否證。

關於質數間隙的條件結果

克拉梅爾也提出另一個較弱的關於質數間隙的猜想，指出在黎曼猜想成立的狀況下，有

p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\ln p_{n})

。^[1]

目前這方面最好的無條件結果是

p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})

而這點由R·C·貝克（R. C. Baker）、格林·哈曼（英語：Glyn Harman）和平茨·亞諾什（匈牙利語：Pintz János）三人證出。^[2]

另一方面，E·韋斯欽蒂烏斯（E. Westzynthius）於1931年證明質數間隙成長速度快過對數，也就是說，^[3]

\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .

羅伯特·亞歷山大·蘭金（英語：Robert Alexander Rankin）改進了他的結果，^[4]並證明道

\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0

艾狄胥·帕爾猜想表示上式的左側趨近於無限，而這點於2014年由凱文·福特（英語：Kevin Ford (mathematician)）、本·格林（英語：Ben Green (mathematician)）、謝爾蓋·科尼亞金（英語：Sergei Konyagin）和陶哲軒四人組。^[5]以及詹姆斯·梅納德分別證出。^[6]這兩組人馬在該年稍晚將該結果以 $\log \log \log p_{n}$ 因子進行改進。^[7]

探索性論證

克拉梅爾猜想是基於本質上探索性的機率模型（英語：Probabilistic number theory）之上的，在其中一個大小為 $x$ 的數是質數的機率是 $1/\log {x}$ 。而該結果又稱作「克拉梅爾隨機模型」（Cramér random model）或「克拉梅爾質數模型」（Cramér model of the primes）。^[8]

根據克拉梅爾隨機模型，以下事件的機率為一^[1]：

\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1

然而，安德魯·格蘭維爾（英語：Andrew Granville）指出，^[9]根據邁爾定理，克拉梅爾隨機模型不能適切地描述質數在短區間上的分布，而在考慮可除性後，修正版克拉梅爾模型指向 $c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots$ （A125313），其中 $\gamma$ 是歐拉-馬斯刻若尼常數。平茨·亞諾什則認為該比值的上極限可能發散至無限；^[10]

類似地，倫納德·阿德曼和凱文·麥柯利（Kevin McCurley）寫道：

「由於H. Maier關於相鄰質數間隙的工作之故，學界對克拉梅爾猜想的確實公式起了疑問…（中略）因此很有可能對於任意的常數

c>2

而言，總存在一個常數，使得

x

和

x+d(\log x)^{c}

有一個質數。」^[11]

類似地，羅賓·維瑟（Robin Visser）寫道：

「事實上，由於格蘭維爾的工作之故，現在學界普遍相信克拉梅爾猜想是錯的。實際上也確實有邁爾定理等關於短區間的定理，和克拉梅爾模型難以兼容。」^[12]

相關猜想和探索

質數間隙函數

丹尼爾·尚克斯（英語：Daniel Shanks）猜想表示對質數間隙而言，下列比克拉梅爾猜想來得強的非病態公式成立：^[13] $G(x)\sim \log ^{2}x$

J·H·卡德韋爾（J.H. Cadwell）^[14]則提出下列何質數間隙有關的公式： $G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x$ 該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了低次項。

馬雷克·沃爾夫（Marek Wolf）^[15]則猜想在以質數計數函數 $\pi (x)$ 表示的狀況下，最大質數間隙 $G(x)$ 如下：

G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),

其中 $c=\log(C_{2})=0.2778769...$ 和 $C_{2}=1.3203236...$ 是孿生質數常數的兩倍，可見A005597和A114907的相關內容。再一次地，該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了如下的低次項：

G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.

托馬斯·雷·奈斯利（德語：Thomas Ray Nicely）（發現奔騰浮點除錯誤的數學家）曾對許多大質數間隙進行計算，^[16]他藉由下列公式來計算質數間隙與克拉梅爾猜想相契合的程度：

R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}

他寫道「即使對於已知最大的質數間隙， $R$ 的值都維持在1.13左右」。

參見

質數定理
勒讓德猜想和安德里卡猜想─兩個遠遠較弱但依舊未證出的關於質數間隙上界的猜想。
菲魯茲巴赫特猜想
邁爾定理─一個關於短區間質數個數且克拉梅爾模型給出錯誤預測的定理。

參考資料

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Cramér, Harald, On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers (PDF), Acta Arithmetica, 1936, 2: 23–46 [2012-03-12], doi:10.4064/aa-2-1-23-46, （原始內容 (PDF)存檔於2018-07-23）
^ R. C. Baker, G. Harman, and J. Pintz, The difference between consecutive primes. II. Proc. London Math. Soc. (3), 83 (2001), no. 3, 532-562
^ Westzynthius, E., Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind, Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors, 1931, 5: 1–37, JFM 57.0186.02, Zbl 0003.24601 （德語） .
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^ Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Maynard, James; Tao, Terence. Long gaps between primes. Journal of the American Mathematical Society. 2018, 31: 65–105. arXiv:1412.5029 . doi:10.1090/jams/876.
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外部連結

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