超奇異質數

在月光理論的數學分支中，超奇異質數（Supersingular prime）是怪獸群（Monster group，最大的簡單散在群）「M」階數的質因數 。超奇異質數只有15個：包括前11個質數（2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31）、41、47、59和71。（OEIS數列A002267）

不是超奇異質數的質數有37、43、53、61、67，以及任何大於或等於73的質數。所有超奇異質數都是陳質數，但是不是不是超奇異質數的37、53和67也是陳質數，並且有無數個大於73的陳質數。

超奇異質數與以下所述超奇異橢圓曲線的概念有關。對於質數「 p」，以下等價：

1. 模曲線 X₀⁺(p) = X₀(p)/w_p，其中 w_p 是Fricke involution的X₀(p)，其特徵為零。  
2. 可以在素子場（prime subfield）上定義特徵「p」中的所有超奇異橢圓曲線 F_p.
3. 怪物組的階數可被「p」整除。

上述等價敘述是由安德魯·奧格提出。奧格在1975年證明滿足第一個條件的質數，恰好是上面列出的15個超奇數質數，此後不久就得知（當時是猜想的）零星簡單群的存在，這些群正好把這些質數作為質數除數。這種奇怪的巧合即為怪獸月光理論的基礎。

三個非超奇異質數以另外兩個簡單散在群的階數出現：37和67是里昂群階數的因數，以及37和43是揚科群J4階數的因數。可以立即得出結論，這兩個不是魔群組的子商（它們是六個低群中的兩個）。其他的散在群（包括其他四個低群，若提次群可計入散在群的話，也包括提次群）也具有僅超奇質數的階。 實際上，除了小怪獸群以外，它們都只能被小於或等於31的質數整除的階，不過只有怪獸群的因數包括所有的超奇異質數。超奇異質數47是小怪獸群階數的因數，而其他三個超奇異質數（41、59和71）只是怪獸群的因數，不是其他散在群的因數。

參考資料

• 埃里克·韋斯坦因. Supersingular Prime. MathWorld. 
• 埃里克·韋斯坦因. Sporadic group. MathWorld. 
• Ogg, A. P. Modular Functions. Cooperstein, Bruce; Mason, Geoffrey (編). The Santa Cruz Conference on Finite Groups. Held at the University of California, Santa Cruz, Calif., June 25–July 20, 1979. Providence, RI: Amer. Math. Soc. 1980: 521–532. ISBN 0-8218-1440-0.